前言

本笔记主要记录如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗

必须学会分析复杂度分析。

李柱明博客:https://www.cnblogs.com/lizhuming/p/15487271.html

复杂度

复杂度分为:

  1. 时间复杂度。关联到执行效率

    • 时间复杂度的全称是 渐进时间复杂度表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系
  2. 空间复杂度。关联到资源消耗

    • 空间复杂度全称就是渐进空间复杂度表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

分析方法

大 O 复杂度表示法

先说结论:

  • 大 O 复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。
  • 忽略掉公式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了
  • 多、加法和乘法规则

例子-评估累加和的各种算法执行效率

算法 1(for 循环):
int cal(int n)
{
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i)
{
sum = sum + i;
}
return sum;
}
  • 从 CPU 角度看:

    • 重复类似的操作:读数据-运算-写数据。
    • 假设每行代码执行事件都为 unit_time。(粗略估计)
    • 代码中执行的时间为:T(n) = (2+3n)*unit_time
  • 结论:所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

算法 2(嵌套 for 循环):
int cal(int n)
{
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i)
{
j = 1;
for (; j <= n; ++j)
{
sum = sum + i * j;
}
}
}
  • 代码中执行时间为:T(n) = (3+3n+3n²)*unit_time=3(n²+n+1)*unit_time
  • 所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码执行的次数成正比。

大 O 表示

T(n) = O(f(n))

  • 上面算法 1 中的大 O 表示法为:T(n) = O(2+3n)

  • 上面算法 2 中的大 O 表示法为:T(n) = O(3(n²+n+1))

  • 大 O 表示法不是表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势

    • 即是时间复杂度

当 n 很大时,公式中的低阶常量系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。

只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度,可记为:

  • T(n) = O(n)
  • T(n) = O(n²)

时间复杂度分析

当了解了大 O 表示法后,就可以用来分析时间复杂度了。

三个实用的方法:

  1. 只关注循环执行次数最多的一段代码。
  2. 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。(
  3. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。(嵌套:

关注执行最多的一段代码

以上面算法 1 为例:

  • 前面两行代码为常量级别,忽略。

  • 3n 中的系数也可忽略。

  • 结论:时间复杂度为 O(n)

算法 2 的时间复杂度就是 O(n²)

加法规则

加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

  • 公式:T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))

若上面算法 1 和算法 2 出现在同一个代码段中是,其时间复杂度之和为 O(n)+O(n²)

总的时间复杂度就是取最大量级: O(n²)

乘法规则

乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

  • 公式:T1(n)=O(f(n))T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n))

例子:

  • 时间复杂度:T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)
int func(int n)
{
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i)
{
sum = sum + i;
}
return sum;
} int cal(int n)
{
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i)
{
ret = ret + func(i);
}
}

常见时间复杂度

常见时间复杂度量级如图:

这些复杂度量级可分为:

  • 多项式量级:

    • 常量阶:O(1)
    • 对数阶:O(logn)
    • 线性阶:O(n)
    • 线性对数阶:O(nlogn)
    • k 次方阶:O(nk)注意:这里的 k 为 k 次方)
  • 非多项式量级

    • O(2n);(注意:这里的 n 为 n 次方)
    • O(n!)
    • 说明:当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长。所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法

常量阶 O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。

大牛总结:(常量级记作 O(1)

  • 只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)
  • 或者说, 一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是 Ο(1)

对数阶 O(logn)、O(nlogn)

i=1;
while (i <= n)
{
i = i * 2;
}

时间复杂度分析过程:

  • 多:第 4 行代码执行次数最多。那就算出第四行执行的次数。

  • 得 x = log2n 即时间复杂度为 O(log2n)。也就是 O(logn)

  • 不管底数为何值,都把这类对数阶的时间复杂度记为 O(logn)。理由:

    • log3n = log32 * log2n。对应时间复杂度为:O(log3n) = O(C * log2n)。
    • 按前面学的系数可忽略:O(log3n) = O(log2n)。
    • 既然不同底数都可以转化,那就直接使用 O(logn) 来标记对数阶。

而对于 O(nlogn) 就是一段时间复杂度为 O(logn) 的代码段被执行了 n 次。

多参数阶 O(m+n)、O(m*n)

分析代码的时间复杂度由两个以上数据的规模来决定。

以下以两个数据规模决定为基础。

int cal(int m, int n)
{
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i)
{
sum_1 = sum_1 + i;
} int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j)
{
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
  • 其时间复杂度为:O(m+n)
  • 对于加法规则(变了):T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。
  • 对于乘法规则(不变):T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

空间复杂度。关联到资源消耗

  • 空间复杂度全称就是渐进空间复杂度表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

使用大 O 表示法,和时间复杂度一样,只是分析的数据规模 n 由时间度量改为空间度量。

小结

复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系。

通常越高阶复杂度的算法,执行效率越低。

常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。

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