Solution -「Tenka1 2019 D」Three Colors

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定 \(\{a_n\}\)，把每个元素划分入可重集 \(R,G,B\) 中的恰好一个，求满足 \(\sum R,\sum G,\sum B\) 能够作为正面积三角形三边的划分方案数。对 \(998244353\) 取模。

  \(n,a_i\le300\)。

\(\mathcal{Solution}\)

   不妨令 \(\sum R,\sum G\le\sum B\)（注意 \(\sum R\) 和 \(\sum G\) 不钦定偏序关系），正难则反，考虑用总方案数 \(3^n\) 减去 \(3\) 倍 \(\sum R+\sum G\le \sum B\) 的方案数。令 \(f(i,j)\) 表示考虑了前 \(i\) 个数，\(\sum R+\sum G=j\) 的方案数。转移显然：

\[f(i,j)=f(i-1,j)+2f(i-1,j-a_i)
\]

  不过，这样求出来的方案数中包含了 \(R=\varnothing\) 或 \(Q=\varnothing\) 的方案数，因而 \(\sum R+\sum G=\sum B\) 的情形会算重。把转移方程的系数 \(2\) 去掉再来一遍补上多算的答案即可。

\(\mathcal{Code}\)

/* Clearink */

#include <cstdio>

const int MAXN = 300, MOD = 998244353;
int n, S, a[MAXN + 5], f[MAXN * MAXN + 5];

inline int mul ( const long long a, const int b ) { return a * b % MOD; }
inline int sub ( int a, const int b ) { return ( a -= b ) < 0 ? a + MOD : a; }
inline int add ( int a, const int b ) { return ( a += b ) < MOD ? a : a - MOD; }

inline int qkpow ( int a, int b ) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; a = mul ( a, a ), b >>= 1 ) ret = mul ( ret, b & 1 ? a : 1 );
	return ret;
}

int main () {
	scanf ( "%d", &n );
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) scanf ( "%d", &a[i] ), S += a[i];
	f[0] = 1;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		for ( int j = S >> 1; j >= a[i]; -- j ) {
			f[j] = add ( f[j], mul ( 2, f[j - a[i]] ) );
		}
	}
	int ans = qkpow ( 3, n );
	for ( int i = 0; i <= S >> 1; ++ i ) ans = sub ( ans, mul ( 3, f[i] ) );
	if ( S & 1 ) return printf ( "%d\n", ans ), 0;
	for ( int i = 0; i <= S >> 1; ++ i ) f[i] = 0;
	f[0] = 1;
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		for ( int j = S >> 1; j >= a[i]; -- j ) {
			f[j] = add ( f[j], f[j - a[i]] );
		}
	}
	ans = add ( ans, mul ( 3, f[S >> 1] ) );
	printf ( "%d\n", ans );
	return 0;
}

\(\mathcal{Details}\)

  正难则反吖！