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题意:求满足模p下$\frac{1}{a_i+a_j}\equiv\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_j}$的对数,其中$n,p(1\leq n\leq10^5,2\leq p\leq10^{18})$

思路:推式子,两边同乘$(a_i + a_j)^3$,得$a_i^2+a_j^2 \equiv {a_i·a_j} \mod{p}$,进一步$a_i^2+a_j^2+a_i·a_j\equiv {0} \mod{p}$,然后?然后会点初中数竞,或者数感好会因式分解就能看出来,两边再乘个$a_i-a_j$就是$a_i^3-a_j^3$了,直接得到了$a_i$和$a_j$的关系,可喜可贺。然而显然我这种蠢得的人看不出来的,一般性的我们使用一元二次求根公式,视$a_j$为常数,得在模p下的解$a_i=a_j·\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$,那么得到了$a_i$和$a_j$的关系,但是有$\sqrt{-3}$的存在,也就是要想办法求到$x^2 \equiv{-3} \mod{p}$的解,来替代原式中的根号,这个头次见到还是浙大校赛的ZOJ3774,当时还奇怪为什么有人能直接看出xx数就是$\sqrt{5}$的二次剩余。

这里用到二次剩余的相关知识,前置知识是看二次剩余有关的教学ppt(欧拉判别,勒让德符号之类的),求二次剩余的解有种二次域的求法(参见wiki上的Cipolla's algorithm),还有这位菊苣的博客,acdream菊苣的博客上也有模板和一些介绍......

因为半桶水,证明或算法在此不表。

其他要注意给出数据有可能为0,且要进行欧拉判别模p下是否存在二次剩余为-3的解,以及p=3的情况,还有就是因为LL下乘法溢出的问题,注意使用O(1)的$2^{64}$LL的取模乘法。

  1. /** @Date : 2017-08-17 20:07:47
  2. * @FileName: 1009.cpp
  3. * @Platform: Windows
  4. * @Author : Lweleth (SoungEarlf@gmail.com)
  5. * @Link : https://github.com/
  6. * @Version : $Id$
  7. */
  8. #include <bits/stdc++.h>
  9. #define LL long long
  10. #define PII pair<int ,int>
  11. #define MP(x, y) make_pair((x),(y))
  12. #define fi first
  13. #define se second
  14. #define PB(x) push_back((x))
  15. #define MMG(x) memset((x), -1,sizeof(x))
  16. #define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
  17. #define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
  18. using namespace std;
  19.  
  20. const int INF = 0x3f3f3f3f;
  21. const int N = 1e5+20;
  22. const double eps = 1e-8;
  23.  
  24. LL mod;
  25.  
  26. struct T
  27. {
  28. LL p, d;
  29. };
  30. LL w;
  31.  
  32. //O1乘法取模黑科技
  33. LL mul(LL x,LL y)
  34. {
  35. return (x * y-(LL)(x /(long double)mod * y + 1e-3) * mod + mod) % mod;
  36. }
  37.  
  38. //二次域乘法
  39. T multi_er(T a, T b)
  40. {
  41. T ans;
  42. ans.p = (mul(a.p, b.p) + mul(mul(a.d,b.d), w)) % mod;
  43. ans.d = (mul(a.p, b.d) + mul(a.d, b.p)) % mod;
  44. return ans;
  45. }
  46.  
  47. LL quick_mod(LL a, LL b)
  48. {
  49. LL ans = 1;
  50. a %= mod;
  51. while(b)
  52. {
  53. if(b & 1)
  54. {
  55. ans = mul(ans , a);
  56. b--;
  57. }
  58. b >>= 1;
  59. a = mul(a , a);
  60. }
  61. return ans;
  62. }
  63.  
  64. //二次域上快速幂
  65. T power(T a, LL b)
  66. {
  67. T ans;
  68. ans.p = 1;
  69. ans.d = 0;
  70. while(b)
  71. {
  72. if(b & 1)
  73. {
  74. ans = multi_er(ans, a);
  75. b--;
  76. }
  77. b >>= 1;
  78. a = multi_er(a, a);
  79. }
  80. return ans;
  81. }
  82.  
  83. //求勒让德符号
  84. LL Legendre(LL a, LL p)
  85. {
  86. return quick_mod(a, (p-1)>>1);
  87. }
  88.  
  89. LL QuadraticResidue()
  90. {
  91. LL rem = (-3 % mod + mod) % mod;
  92. if(rem == 0)//特判mod==3
  93. return 0;
  94. if(mod == 2)//特判非奇素数
  95. return 1;
  96. if(Legendre(rem, mod) + 1 == mod)//欧拉判别条件 非剩余
  97. return -1;
  98. LL b;
  99. while(1)//找一个非剩余求二次域上的单位w=sqrt(b^2 - rem)
  100. {
  101. b = rand() % mod;
  102. w = (mul(b, b) - rem + mod) % mod;
  103. if(quick_mod(w, (mod - 1)/2) + 1 == mod)//cipolla
  104. break;
  105. }
  106. T tmp;
  107. tmp.p = b;
  108. tmp.d = 1;
  109. T ans = power(tmp, (mod + 1) / 2);
  110. return ans.p;
  111. }
  112.  
  113. vector<LL>a;
  114. int main()
  115. {
  116. int T;
  117. cin >> T;
  118. while(T--)
  119. {
  120. a.clear();
  121. LL n, p;
  122. scanf("%lld%lld", &n, &mod);
  123. for(int i = 0; i < n; i++)
  124. {
  125. LL t;
  126. scanf("%lld", &t);
  127. if(t > 0)//注意有0的...
  128. a.PB(t);
  129. }
  130. LL cnt = a.size();
  131. sort(a.begin(), a.end());
  132.  
  133. ///////////
  134. LL ans = 0;
  135. if(mod == 2)//特殊情况无解
  136. ans = cnt * (cnt - 1) / 2LL;
  137. else
  138. {
  139. LL t = QuadraticResidue();
  140. if(t == -1)
  141. {
  142. printf("0\n");
  143. continue;
  144. }
  145. LL inv = (mod + 1) >> 1;
  146. LL x = mul((mod + t - 1LL)%mod, inv);
  147. LL y = mul((mod - t - 1LL)%mod, inv);
  148. for(int i = 0; i < cnt; i++)
  149. {
  150. LL tmp = mul(x , a[i]);
  151. ans += upper_bound(a.begin(), a.begin() + i, tmp)
  152. - lower_bound(a.begin(), a.begin() + i, tmp);
  153. }
  154. if(x != y)//两个解
  155. {
  156. for(int i = 0; i < cnt; i++)
  157. {
  158. LL tmp = mul(y, a[i]);
  159. ans += upper_bound(a.begin(), a.begin() + i, tmp)
  160. - lower_bound(a.begin(), a.begin() + i, tmp);
  161. }
  162. }
  163. }
  164. printf("%lld\n", ans);
  165. }
  166. return 0;
  167. }
  168. /*
  169. 99
  170. 5 7
  171. 1 2 3 4 5
  172. 6 7
  173. 1 2 3 4 5 6
  174. */

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