【bzoj3684】 大朋友和多叉树 生成函数+多项式快速幂+拉格朗日反演

这题一看就觉得是生成函数的题...

我们不妨去推下此题的生成函数，设生成函数为$F(x)$，则$[x^s]F(x)$即为答案。

根据题意，我们得到 $F(x)=x+\sum_{i∈D} F^i(x)$，其中前面单独出现的$x$可以理解为空树的情况。

如果$i$的范围很小，那么我们就可以用求根公式去解多项式方程23333。

然而考虑到$i$最大为$10^5$，根据阿贝尔定理，无根式解，所以不能用此方法。

我们对原先的式子做一个移项，得$F(x)-\sum_{i∈D} F^i(x)=x$。

我们构造函数$G(x)=x-\sum_{i∈D}x^i$。

不难发现$G(F(x))=F(x)-\sum_{i∈D}F^i(x)=x$。也就是说$F(x)$和$G(x)$互为反函数。

然后我们现在已知$G(x)$，要求$F(x)$使得$G(F(x))=x$。也就是求$G(x)$的复合逆。

根据拉格朗日反演，若$G(F(x))=x$，则有$[x^s]F(x)=\dfrac{1}{s}[x^{-1}]\dfrac{1}{G^s(x)}$。

然后，我们对式子乘上$x^s$，得到$[x^s]F(x)=\dfrac{1}{s}[x^{s-1}](\dfrac{1}{G(x)})^s$。

然后后面就是多项式快速幂了。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define G 7
 #define L long long
 #define MOD 950009857
 #define inv(x) pow_mod(x,MOD-2)
 #define M 1<<18
 using namespace std;
 
 L pow_mod(L x,L k){
     L ans=;
     while(k){
         if(k&) ans=ans*x%MOD;
         k=k>>; x=x*x%MOD;
     }
     return ans;
 }
 
 void change(L a[],int n){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){
         if(i<j) swap(a[i],a[j]);
         int k=n>>;
         while(j>=k) j-=k,k>>=;
         j+=k;
     }
 }
 void NTT(L a[],int n,int on){
     change(a,n);
     for(int h=;h<=n;h<<=){
         L wn=pow_mod(G,(MOD-)/h);
         for(int j=;j<n;j+=h){
             L w=;
             for(int k=j;k<j+(h>>);k++){
                 L u=a[k],t=a[k+(h>>)]*w%MOD;
                 a[k]=(u+t)%MOD;
                 a[k+(h>>)]=(u-t+MOD)%MOD;
                 w=w*wn%MOD;
             }
         }
     }
     if(on==-){
         L inv=inv(n);
         for(int i=;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
         reverse(a+,a+n);
     }
 }
 
 void getinv(L a[],L b[],int n){
     if(n==) return void(b[]=inv(a[]));
     static L A[M],B[M];
     memset(A,,sizeof(A)); memset(B,,sizeof(B));
     getinv(a,B,n>>);
     for(int i=;i<n;i++) A[i]=a[i];
     NTT(A,n<<,); NTT(B,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) b[i]=(*B[i]-A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD+MOD)%MOD;
     NTT(b,n<<,-);
     for(int i=;i<n;i++) b[n+i]=;
 }
 
 void qiudao(L a[],L b[],int n){
     memset(b,,sizeof(b));
     for(int i=;i<n;i++) b[i-]=i*a[i]%MOD;
 }
 void jifen(L a[],L b[],int n){
     memset(b,,sizeof(b));
     for(int i=;i<n;i++) b[i+]=a[i]*pow_mod(i+,MOD-)%MOD;
 }
 
 void getln(L a[],L b[],int n){
     static L c[M],d[M];
     memset(c,,M<<); memset(d,,M<<);
     qiudao(a,c,n); getinv(a,d,n);
     NTT(c,n<<,); NTT(d,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) c[i]=c[i]*d[i]%MOD;
     NTT(c,n<<,-);
     jifen(c,b,n);
 }
 
 void getexp(L a[],L b[],int n){
     if(n==){b[]=; return;}
     static L lnb[M]; memset(lnb,,M<<);
     getexp(a,b,n>>); getln(b,lnb,n);
     for(int i=;i<n;i++) lnb[i]=(a[i]-lnb[i]+MOD)%MOD;
     lnb[n]=;
     lnb[]=(lnb[]+)%MOD;
     NTT(lnb,n<<,); NTT(b,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) b[i]=b[i]*lnb[i]%MOD;
     NTT(b,n<<,-);
     for(int i=;i<n;i++) b[i+n]=;
 }
 
 L g[M]={},f[M]={};
 
 void pow_mod(L a[],L b[],int n,int k){
     memset(b,,M<<);
     getln(a,b,n);
     for(int i=;i<n;i++) a[i]=b[i]*k%MOD;
     memset(b,,M<<);
     getexp(a,b,n);
 }
 
 int main(){
     int n,m;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=m;i++){
         int x; scanf("%d",&x);
         g[x-]=-;
     }
     g[]=;
     int nn=;while(nn<n) nn<<=;
     getinv(g,f,nn);
     memset(g,,sizeof(g));
     pow_mod(f,g,nn,n);
     L ans=inv(n)*g[n-]%MOD;
     cout<<ans<<endl;
 }