[xsy2913]enos
题意:一棵树,点有$0,1,2$三种颜色,支持路径修改颜色和查询点所在同色连通块的大小
lcm太可怕了,于是去问了sk,得到一个优质做法
考虑lct维护子树信息,$vs_{x,i}$为$x$的虚儿子中,以颜色为$i$的节点为根的同色连通块大小之和,$s_{x,i}$表示splay上$x$的子树$vs_{x,i}$之和,切换虚实时更新$vs$,splay上pushup时更新$s$即可
如果每时每刻都保持同一棵splay中点的颜色都相同,那么询问时只需模仿access的过程,不停往上拼接同色splay,最后得到的splay的根节点$x$的$s_{x,c_x}+siz_x$就是答案,我们把这种access称为按颜色access
现在考虑修改,先求lca,把修改拆成两个祖先后代链,假设这条祖先后代链为$y\rightarrow x$,$y$是$x$的祖先
先对$fa_y$按颜色access,再对$x\rightarrow y$无条件access,对得到的splay打标记即可
这棵splay可能会作为某个点的虚儿子,看起来要一直往上更新,实际上最多更新往上的两棵splay即可
设往上的三棵splay为$T_1,T_2,T_3$,因为$T_1$是按颜色access得到的,所以$c_{T_1}\neq c_{T_2}$
首先$T_1$显然需要更新,然后因为$T_2$需要用到$T_1$的信息,所以当$y\rightarrow x$这条链在修改前或修改后的颜色$=c_{T_1}$时,$T_1$的$s_{x,c_{T_1}}$会变化,进而影响$T_2$的$s_{x,c_{T_1}}$
幸运地,$T_3$只需要用到$T_2$的$s_{x,c_{T_2}}$信息,又因为$c_{T_1}\ne c_{T_2}$,所以从$T_3$开始往上的那些splay都无需更新
最后是无条件access所引发的一些小问题,在按颜色access时,我们可以快速而准确地更新一个节点的$vs$,但无条件access时,splay中可能含有不同颜色的点,这时不能直接用$s_{x,c_x}+siz_x$来计算$x$对父亲的$vs$的贡献
解决方法很简单:在拼接$x$和$y$之前先算出$x$对父亲的旧贡献,减掉即可,又因为一个节点原来的实儿子的splay子树中都是同颜色的点,这部分的贡献可以直接按原来的方法算
于是整道题就做完了,这个题还是挺好的==
再次orzsk和dtz两位人形自走dspedia
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; int n; namespace t{ int h[100010],nex[100010],to[100010],M; void add(int a,int b){ M++; to[M]=b; nex[M]=h[a]; h[a]=M; } int fa[100010][17],dep[100010],siz[100010]; void dfs(int x){ dep[x]=dep[fa[x][0]]+1; siz[x]=1; for(int i=h[x];i;i=nex[i]){ if(to[i]!=fa[x][0]){ dfs(to[i]); siz[x]+=siz[to[i]]; } } } void work(){ int i,j; for(i=2;i<=n;i++){ scanf("%d",fa[i]); add(fa[i][0],i); } dfs(1); for(j=1;j<17;j++){ for(i=1;i<=n;i++)fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]; } } int lca(int x,int y){ int i; if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); for(i=16;i>=0;i--){ if(dep[fa[x][i]]>=dep[y])x=fa[x][i]; } if(x==y)return x; for(i=16;i>=0;i--){ if(fa[x][i]!=fa[y][i]){ x=fa[x][i]; y=fa[y][i]; } } return fa[x][0]; } } namespace l{ int ch[100010][2],fa[100010],r[100010],siz[100010],s[100010][3],vs[100010][3],d[100010],c[100010]; #define ls ch[x][0] #define rs ch[x][1] void pushup(int x){ for(int i=0;i<3;i++)s[x][i]=s[ls][i]+s[rs][i]+vs[x][i]; r[x]=rs?r[rs]:x; siz[x]=siz[ls]+siz[rs]+1; } void rot(int x){ int y,z,f,b; y=fa[x]; z=fa[y]; f=ch[y][0]==x; b=ch[x][f]; fa[x]=z; fa[y]=x; if(b)fa[b]=y; ch[x][f]=y; ch[y][f^1]=b; if(ch[z][0]==y)ch[z][0]=x; if(ch[z][1]==y)ch[z][1]=x; pushup(y); pushup(x); } void set(int x,int v){ d[x]=c[x]=v; } void pushdown(int x){ if(~d[x]){ if(ls)set(ls,d[x]); if(rs)set(rs,d[x]); d[x]=-1; } } bool isrt(int x){return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;} void gao(int x){ if(!isrt(x))gao(fa[x]); pushdown(x); } void splay(int x){ gao(x); int y,z; while(!isrt(x)){ y=fa[x]; z=fa[y]; if(!isrt(y))rot((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x)?x:y); rot(x); } } void work(){ int i; for(i=1;i<=n;i++){ fa[i]=t::fa[i][0]; r[i]=i; d[i]=-1; siz[i]=1; vs[i][0]=s[i][0]=t::siz[i]-1; } } #define v(x) (s[x][c[x]]+siz[x]) void access(int x,int z){ int y,t; splay(x); y=0; t=0; while(x){ splay(x); if(r[x]==z)break; vs[x][c[rs]]+=v(rs); vs[x][c[y]]-=t; t=v(x); rs=y; pushup(x); y=x; x=fa[x]; } } int query(int x){ int y,v; splay(x); y=0; v=c[x]; while(x){ splay(x); if(c[x]!=v)break; vs[x][c[rs]]+=v(rs); vs[x][c[y]]-=v(y); rs=y; pushup(x); y=x; x=fa[x]; } return s[y][v]+siz[y]; } } void modify(int x,int y,int v){ using namespace l; int z=t::fa[y][0]; if(z){ query(z); splay(z); if(fa[z]){ splay(fa[z]); vs[fa[z]][c[z]]-=v(z); } splay(y); vs[z][c[y]]-=v(y); } access(x,z); splay(x); set(x,v); if(z){ splay(y); vs[z][c[y]]+=v(y); pushup(z); if(fa[z]){ vs[fa[z]][c[z]]+=v(z); pushup(fa[z]); } } } int main(){ int m,i,x,y,z,k; scanf("%d%d",&n,&m); t::work(); l::work(); while(m--){ scanf("%d",&i); if(i==1){ scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); k=t::lca(x,y); modify(x,k,z); modify(y,k,z); }else{ scanf("%d",&x); printf("%d\n",l::query(x)); } } }
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