Codeforces 1162E Thanos Nim（博弈）

一道有意思的博弈题。首先我们考虑一种必败情况，那就是有一方拿光了一堆石子，显然对方是必胜，此时对方可以全部拿走其中的n/2，那么轮到自己时就没有n/2堆，所以此时是必败态。我们先对所有石子堆sort，设最少的石子堆a[i]的石子数为a,有b堆这样的石子，当b<=n/2的时候，先手可以将另外一半的石子拿走至与前一半石子堆的数量一致( {a1 a2 ... an/2 a/n2+1... an} 变成 {a1 a2 ...an/2 a1 a2.... an/2} ) ，那么接下来无论对方拿走多少石子，我们都可以模仿对方的策略，显然，对方会先拿控一堆石子走到必败态，那么先手就必赢。在考虑一种情况，当b>n/2时，也就是最少的石子堆数量占一半以上，那么无论先手怎么取，后手都可以将剩下的石子堆保持最少的石子堆有一半以上（无论对方怎么取，我们只需要把n/2个石子堆数量保持与最小的一致），那么此时先手是一定会先拿空一堆石子，那么先手必败。综上，也就是判断最少石子堆数量是否有一半以上即可。

 //      ——By DD_BOND

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 #include<stack>
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 #define fi first
 #define se second
 #define MP make_pair
 #define pb push_back
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define pi 3.1415926535898
 #define lowbit(a)  (a&(-a))
 #define lson l,(l+r)/2,rt<<1
 #define rson (l+r)/2+1,r,rt<<1|1
 #define Min(a,b,c)  min(a,min(b,c))
 #define Max(a,b,c)  max(a,max(b,c))
 #define debug(x)  cerr<<#x<<"="<<x<<"\n";

 using namespace std;

 typedef long long ll;
 typedef pair<int,int> P;
 typedef pair<ll,ll> Pll;
 typedef unsigned long long ull;

 const ll LLMAX=2e18;
 const int MOD=1e9+;
 const double eps=1e-;
 const int MAXN=1e6+;

 inline ll sqr(ll x){ return x*x; }
 inline int sqr(int x){ return x*x; }
 inline double sqr(double x){ return x*x; }
 ll __gcd(ll a,ll b){ return b==? a: __gcd(b,a%b); }
 ll qpow(ll a,ll n){ll sum=;while(n){if(n&)sum=sum*a%MOD;a=a*a%MOD;n>>=;}return sum;}
 inline int dcmp(double x){    if(fabs(x)<eps) return ;    return (x>? : -); }

 int a[MAXN];

 int main(void)
 {
     ios::sync_with_stdio(false);    cin.tie();   cout.tie();
     int n,cnt=;  cin>>n;
     for(int i=;i<n;i++)    cin>>a[i];
     sort(a,a+n);
     if(a[]==a[n/])    cout<<"Bob"<<endl;
     else    cout<<"Alice"<<endl;
     return ;
 }