NYOJ 301 递推求值

第一次写博客，拿个矩阵快速幂练练手吧。

首先什么是快速幂，快速幂是让复杂度由线性降为log n的算法，比如8^1024次方暴力要算1024次，但是矩阵快速幂只算10次就好。

此题只不过是把快速幂的底数变为一个矩阵，矩阵乘法手写，然后计算矩阵的n次方的时候使用快速幂。

此题和矩阵n次方有什么关系？

我们先来构造如下矩阵A：

f2  0   0
f1  0   0
1   0   0
和另一个为矩阵B：
b   a   c
1   0   0
0   0   1

矩阵A每乘一次矩阵B，新矩阵第一个值便是递推公式的下一个值。

n的值为10^9，如果乘10^9个矩阵B必然会超时，所以使用快速幂，在中取模就好了（过程取模对乘法来说对结果无影响）。

理论上快速幂使用的时候最大的n能到2^(10^8)这么多。

代码如下：

 #include<iostream>
 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 using namespace std;
 #define mod 1000007
 #define ll long long

 struct matri
 {
     ll mat[][];
 } one= {,,,,,,,,};  

 matri mul(matri a, matri b)
 {
     matri res;
     for(int i=;i<;i++)
         for(int j=;j<;j++)
         {
             res.mat[i][j] = ;
             for(int k=;k<;k++)
             {
                 res.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
                 res.mat[i][j] %= mod;
             }
         }
     return res;
 }  

 matri pow(matri a, ll n)
 {
     matri res = one;
     while(n != )
     {
         if(n & )
             res = mul(res, a);
         a = mul(a, a);
         n >>= ;
     }
     return res;
 }  

 int main()
 {
     ll n,f1,f2,a,b,c,T;
     matri tmp,arr;
     scanf("%lld",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&f1,&f2,&a,&b,&c,&n);
         if(n==)
             printf("%lld\n",(f2-f1*b-c+mod)%mod);
         if(n==)
             printf("%lld\n",(f1+mod)%mod);
         else if(n==)
             printf("%lld\n",(f2+mod)%mod);
         else
         {
             memset(arr.mat, , sizeof(arr.mat));
             arr.mat[][] = f2;arr.mat[][] = f1; arr.mat[][] = ;
             tmp.mat[][] = b; tmp.mat[][] = a;  tmp.mat[][] = c;
             tmp.mat[][] = tmp.mat[][] = ;
             tmp.mat[][] = tmp.mat[][] = tmp.mat[][] = tmp.mat[][] = ;
             matri p = pow(tmp, n-);
             p = mul(p, arr);
             ll ans = (p.mat[][] + mod) % mod;
             printf("%lld\n",ans);
         }
     }
     return ;
 }