GDKOI2015 Day1

P1

题目描述：

　　判断一个环形字符串（或者减去一个字符之后）是否是回文串

solution:

1.hash

　　将字符串的前缀进行hash，然后将字符串翻转，再做一次hash，然后枚举对称轴，判断两边的hash值是否相等就可以了。

　　时间复杂度：\( O(n) \)

2.manacher

　　将字符串倍增，然后直接求最长回文串，判断是否大于等于原串长。

　　时间复杂度：\( O(n) \)

P2

题目描述：

　　经典网络流

solution:

　　经典路径网络流，将每个点拆成入点与出点，dicnic。

　  时间复杂度：\( O(52^2m) \)

P3

题目描述：

　　哈密顿回路最优方案

solution:

　　看题目的时候发现是哈密顿回路，但哈密顿回路是NP完全问题，数据太大了。然后发现题目有特殊性，i号点连向\( (2i)\%N \)与\( (2i+1)\%N \)，N为奇数是无解的，当N为偶数时，i与\( i+\frac{N}{2} \)的入点与出点是相同的，就可以把原图缩成原来的\( \frac{1}{2} \)，每条边必须走一次。这样就把哈密顿回路转化成欧拉回路（环套环搜索），题目要求最优方案就贪心一下好了。

　　时间复杂度：\( O(n) \)

P4

题目描述：

　　给出一棵树，每个结点有颜色和点权，支持三种操作：

　　1、将子树的某两种颜色交换

　　2、路径某颜色权值和

　　3、改变某结点的颜色与点值。

solution:

1.树链剖分+DFS序

　　这题就难在子树修改，大多数的数据结构只能修改链。同一棵子树的点在DFS序中是连续的，所以只要将树链剖分的线段树的点的顺序变成DFS序，将可以实现子树修改。每个结点记住一个对应关系，表示新的颜色对应哪种旧颜色，稍微处理一下就可以了。

　　时间复杂度：\( O(nlogn) \)

2.10棵LCT

　　每一种颜色开一棵LCT，维护该种颜色的结点（不是这种颜色的也要记，不过权值为0罢了），子树修改的时候直接把子树的根的父亲进行修改，而第三种操作有点麻烦，要记住树节点的地址，否则搞不清这个点究竟在那棵LCT里。

　　时间复杂度：\( O(nlogn) \)  常数较大

3.ETR(Euler Tour Representation)的序列

　　这是DFS序的拓展，按照时间戳来建结点，用DFS遍历这棵树，刚开始搜到这个点时在线段树建一个点（正），搜索完后再建一个点（负），这就将到根路径变成了前缀和，颜色交换是区间操作，用线段树可以完美解决。

　　时间复杂度：\( O(nlogn) \)