CSU 1325 莫比乌斯反演

题目大意：

一、有多少个有序数对（x，y）满足1<=x<=A，1<=y<=B，并且gcd（x，y）为p的一个约数；

二、有多少个有序数对（x，y）满足1<=x<=A，1<=y<=B，并且gcd（x，y）为p的一个倍数。

第一行两个数：p和q。（1<p<10^7 ，1<q<1000。）

接下来有q行，每行两个数A和B。（1<A,B<10^7）

我们先考虑第二个问题 ，很简单答案就是 (A/p) * (B/p) , 因为从p开始每次叠加p枚举到A，B中间得到的数都是可以任意选择，gcd()的值必然是p的倍数的

我们考虑第一个问题，这里约数的个数不超过数字n的2sqrt(n)个

所以我们可以枚举出每一个约数k,然后对k进行求和

对于使用莫比乌斯反演求和的话只是从当前来说复杂度大概是

O(q*lg(p)*(sqrt(A)+sqrt(B))  //sqrt(A)是因为对莫比乌斯数组求前缀和进行快速计算，这是莫比乌斯中常出现的方式

为了较低复杂度，我们列式计算考虑降维

如下列公式所示：

最后是如何计算sum[t],能计算出sum[]数组的话，t最大不超过min(A,B)那么总复杂度就能降为O(q*(sqrt(A)+sqrt(B))就没问题了

这里t只跟k,d有关系，那么只要枚举每一个k,d就能得到sum[t]的数组了

for(int i=0 ; i<cnt ; i++){
        for(int d=1 ; d*fac[i]<=M ; d++){
            sum[d*fac[i]] += mu[d];
        }
    }
for(int i=1 ; i<=M ; i++) sum[i] += sum[i-1];

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <cmath>

 using namespace std;
 #define ll long long
 #define N 10005
 #define M 10000000
 int p,q,a,b,cnt;
 int fac[N];
 int mu[M+] , prime[M/] , tot , sum[M];
 bool check[M+];

 void get_mu()
 {
     mu[] = ;
     for(int i= ; i<=M ; i++){
         if(!check[i]){
             mu[i] = -;
             prime[tot++] = i;
         }
         for(int j= ; j<tot ; j++){
             if((ll)prime[j]*i>M) break;
             check[prime[j]*i] = true;
             if(i%prime[j]==) break;
             else mu[i*prime[j]] = -mu[i];
         }
     }
 }

 void init()
 {
     int v = (int)sqrt(p+0.5);
     for(int i= ; i<=v ; i++){
         if(p%i==){
             fac[cnt++] = i;
             if(p/i!=i) fac[cnt++] = p/i;
         }
     }
 }

 void pre_solve()
 {
     for(int i= ; i<cnt ; i++){
         for(int d= ; d*fac[i]<=M ; d++){
             sum[d*fac[i]] += mu[d];
         }
     }
     for(int i= ; i<=M ; i++) sum[i] += sum[i-];
 }

 ll cal(int a , int b)
 {
     ll ans = ;
     for(int t= , last ; t<=a ; t=last+){
         last = min(a/(a/t) , b/(b/t));
         ans += (ll)(sum[last]-sum[t-])*(a/t)*(b/t);
     }
     return ans;
 }

 int main()
 {
     get_mu();
     scanf("%d%d" , &p , &q);
     init();
     pre_solve();
     while(q--){
         scanf("%d%d" , &a , &b);
         if(a>b) swap(a , b);
         printf("%lld %lld\n" , cal(a,b) , (ll)(a/p)*(b/p));
     }
 }