[Luogu 4998 信号塔] 题解报告

• 估计没人看的简化版题意：

给定一个数轴，以及数轴上的 \(n\) 个点（这些点可能坐落在同一坐标上），第 \(i\) 个点的坐标为 \(a_i\) 。现在要在数轴上找 \(k\) 个点，第 \(i\) 个点的坐标为 \(x_i\) 。求这 \(k\) 个点到原数轴上 \(n\) 个点距离和的最小值，即 \(min(\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n} |x_i - a_j|)\).

注：\(n,\ a_i \leq 10^6,\ k \leq n\)

• 题目分析：

首先，最容易想到的就是暴力模拟。循环枚举坐标，对于每个坐标，求出其到 \(n\) 个点的距离和。最后再将距离和升序排列。时间复杂度 $O(an) = $TLE

现在从两个方向考虑优化：

1. 减少枚举数量。也就是减少 \(x\) 的枚举数量。
2. 减少计算过程。也就是降低求 \(x_i\) 到 \(a_j\) 距离和的复杂度。

而由于 \(x\) 与其他点的距离没有方便计算的函数表示，所以减少枚举数量是不现实的（可能是因为我太弱了）

那么怎样减少计算过程呢？？

设一个点 \(x\) 到所有 \(a\) 的距离和为 \(s\)。

我们可以发现，如果 \(x\) 往前走一个单位长度，那么它与它前面点的距离就都会加一，与后面点的距离都会减一。

设 \(x\) 往前移动一位后， \(x\) 前面有 \(c\) 个点，后面有 \(n - c\) 个点。

那么，距离就会变为：\(s + c - (n - c)\)。

所以，我们在枚举信号站坐标的时候，就可以顺带着将信号站到其他点的距离用 \(O(1)\) 算出来

时间复杂度为 \(O(a)\)

代码大概长这样（由于空间有限，就不在这里放了） Wrong Code

然后就惊喜的发现 Wa 了一个点 ...

发现我代码中的错误是在一天之后了。我忽然发现，信号站是有可能建在负数坐标上的，举个栗子：

数轴上点的坐标为： \(a = [0, 0, 0, 0, 0]\)

我们要选择5个信号站。

那么，最优解应该是 \(x = [0, 1, 2, -1, -2]\).

这样，我们的信号站就选到了负数点上。

这样，我们只需要将信号站枚举起点换成 \(-10^6\) （因为 \(k \leq 10^6\) 嘛）。由于数组下标不能是负数，所以我们在数组上加上一个偏移量 \(delta\)，让数组下标变成正数即可。

• Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000010, M = N << 1;
LL f[M];
int p[N];
int delta = 1e6;
int n, m;
int Map[N];
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	LL s = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		scanf("%d", &p[i]);
		Map[p[i]] ++ ;
		s += (p[i] + 1e6);
	}
	sort(p + 1, p + n + 1);
	int l = 0, r = n;
	f[0] = s;
	for (int i = -1e6 + 1; i <= 1e6; i ++ )
	{
		f[i + delta] = f[i - 1 + delta] + l - r;
		if (i < 0) continue;
		if (Map[i]) l += Map[i], r -= Map[i];
	}
	sort(f, f + 2000000 - 1);
	LL res = 0;
	for (int i = 0; i < m; i ++ )
		res += f[i];
	printf("%lld\n", res);
	return 0;
}