[Luogu 4998 信号塔] 题解报告
- 估计没人看的简化版题意:
给定一个数轴,以及数轴上的 \(n\) 个点(这些点可能坐落在同一坐标上),第 \(i\) 个点的坐标为 \(a_i\) 。现在要在数轴上找 \(k\) 个点,第 \(i\) 个点的坐标为 \(x_i\) 。求这 \(k\) 个点到原数轴上 \(n\) 个点距离和的最小值,即 \(min(\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n} |x_i - a_j|)\).
注:\(n,\ a_i \leq 10^6,\ k \leq n\)
- 题目分析:
首先,最容易想到的就是暴力模拟。循环枚举坐标,对于每个坐标,求出其到 \(n\) 个点的距离和。最后再将距离和升序排列。时间复杂度 $O(an) = $TLE
现在从两个方向考虑优化:
- 减少枚举数量。也就是减少 \(x\) 的枚举数量。
- 减少计算过程。也就是降低求 \(x_i\) 到 \(a_j\) 距离和的复杂度。
而由于 \(x\) 与其他点的距离没有方便计算的函数表示,所以减少枚举数量是不现实的(可能是因为我太弱了)
那么怎样减少计算过程呢??
设一个点 \(x\) 到所有 \(a\) 的距离和为 \(s\)。
我们可以发现,如果 \(x\) 往前走一个单位长度,那么它与它前面点的距离就都会加一,与后面点的距离都会减一。
设 \(x\) 往前移动一位后, \(x\) 前面有 \(c\) 个点,后面有 \(n - c\) 个点。
那么,距离就会变为:\(s + c - (n - c)\)。
所以,我们在枚举信号站坐标的时候,就可以顺带着将信号站到其他点的距离用 \(O(1)\) 算出来
时间复杂度为 \(O(a)\)
代码大概长这样(由于空间有限,就不在这里放了) Wrong Code
然后就惊喜的发现 Wa 了一个点 ...
发现我代码中的错误是在一天之后了。我忽然发现,信号站是有可能建在负数坐标上的,举个栗子:
数轴上点的坐标为: \(a = [0, 0, 0, 0, 0]\)
我们要选择5个信号站。
那么,最优解应该是 \(x = [0, 1, 2, -1, -2]\).
这样,我们的信号站就选到了负数点上。
这样,我们只需要将信号站枚举起点换成 \(-10^6\) (因为 \(k \leq 10^6\) 嘛)。由于数组下标不能是负数,所以我们在数组上加上一个偏移量 \(delta\),让数组下标变成正数即可。
- Code
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000010, M = N << 1;
LL f[M];
int p[N];
int delta = 1e6;
int n, m;
int Map[N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
LL s = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
scanf("%d", &p[i]);
Map[p[i]] ++ ;
s += (p[i] + 1e6);
}
sort(p + 1, p + n + 1);
int l = 0, r = n;
f[0] = s;
for (int i = -1e6 + 1; i <= 1e6; i ++ )
{
f[i + delta] = f[i - 1 + delta] + l - r;
if (i < 0) continue;
if (Map[i]) l += Map[i], r -= Map[i];
}
sort(f, f + 2000000 - 1);
LL res = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++ )
res += f[i];
printf("%lld\n", res);
return 0;
}
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