bzoj 3456 城市规划 —— 分治FFT / 多项式求逆 / 指数型生成函数(多项式求ln)
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456
首先考虑DP做法,正难则反,考虑所有情况减去不连通的情况;
而不连通的情况就是那个经典做法:选定一个划分点,枚举包含它的连通块,连通块以外的部分随便连(但不和连通块连通),合起来就是不连通的方案数;
设 \( f[i] \) 表示一共 \( i \) 个点时的连通方案数,\( g[i] \) 表示 \( i \) 个点随便连的方案数,即 \( g[i] = 2^{C_{i}^{2}} \),则:
\( f[i] = 2^{C_{i}^{2}} - \sum\limits_{j=1}^{i-1} C_{i-1}^{j-1} * f_{j} * g_{i-j} \)
只要令 \( g[0] = 0 \),\( j \) 就可以枚举到 \( i \);
把 \( C_{i-1}^{j-1} \) 拆开,对应分配到各处,得到:
\( f[i] = 2^{C_{i}^{2}} - (i-1)!*\sum\limits_{j=1}^{i}\frac{f_{j}}{(j-1)!} * \frac{g_{i-j}}{(i-j)!} \)
所以把 \( g[i] \) 的定义改成 \( g[i] = \frac{2^{C_{i}^{2}}}{i!} \)
于是 \( f[i] = 2^{C_{i}^{2}} - (i-1)!*\sum\limits_{j=1}^{i}\frac{f_{j}}{(j-1)!} * g_{i-j} \)
然后就可以分治FFT了;
很容易写错的地方是那个 \( 2^{C_{i}^{2}} \),因为是指数,所以应该对 \( mod-1 \) 取模,而不是 \( mod \) !!
而且除以 \( 2 \) 也不能预处理 \( inv2 \) 了,因为 \( mod-1 \) 不是质数!!
代码如下:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=(<<),mod=;
int n,f[xn],g[xn],jc[xn],jcn[xn],a[xn],b[xn],rev[xn],inv2,in[xn];
int rd()
{
int ret=,f=; char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();
return f?ret:-ret;
}
ll pw(ll a,int b,int p=mod)
{
ll ret=;
for(;b;b>>=,a=(a*a)%p)if(b&)ret=(ret*a)%p;
return ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
int C(int x){return ((ll)x*(x-)/)%(mod-);}//mod-1!!! //not inv2 -- !pri
void init()
{
jc[]=;
for(int i=;i<=n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod;
jcn[n]=pw(jc[n],mod-);
for(int i=n-;i>=;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+]*(i+)%mod;
g[]=;
for(int i=;i<=n;i++)g[i]=(ll)pw(,C(i))*jcn[i]%mod;
}
void ntt(int *a,int tp,int lim)
{
for(int i=;i<lim;i++)
if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int mid=;mid<lim;mid<<=)
{
int len=(mid<<),wn=pw(,tp==?(mod-)/len:(mod-)-(mod-)/len);
for(int j=;j<lim;j+=len)
for(int k=,w=;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
{
int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
}
}
if(tp==)return; int inv=pw(lim,mod-);
for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void work(int l,int r)
{
if(l==r){f[l]=upt((ll)pw(,C(l))-(ll)jc[l-]*f[l]%mod); return;}
int len=r-l+,mid=((l+r)>>);
work(l,mid);
int lim=,L=;
while(lim<=len)lim<<=,L++;//
for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-)));
for(int i=;i<lim;i++)a[i]=b[i]=;
for(int i=l;i<=mid;i++)a[i-l]=(ll)f[i]*jcn[i-]%mod;//jcn!!
for(int i=;i<=r-l;i++)b[i]=g[i];//
ntt(a,,lim); ntt(b,,lim);
for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
ntt(a,-,lim);
for(int i=mid+;i<=r;i++)f[i]=upt(f[i]+a[i-l]);
work(mid+,r);
}
int main()
{
n=rd(); init();
work(,n);
printf("%d\n",f[n]);
return ;
}
分治FFT
也可以用多项式求逆做:
设 \( g[i] = 2^{C_{i}^{2}} \),这里 \( g[0] = 1 \),\( f[i] \) 定义同上;
得到 \( g[n] = \sum\limits_{i=1}^{n} C_{n-1}^{i-1} * f[i] * g[n-i] \)
拆 \( C_{n-1}^{i-1} \),得到
\( \frac{g[n]}{(n-1)!} = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{f[i]}{(i-1)!} * \frac{g[n-i]}{(n-i)!} \)
设 \( A[i] = \frac{g[i]}{(i-1)!} \) , \( B[i] = \frac{f[i]}{(i-1)!} \) , \( C[i] = \frac{g[i]}{i!} \)
注意这里 \( A[0] = 0 \) , \( B[0] = 0 \) , \( C[0] = 1 \)
所以 \( A(x) = B(x) * C(x) \)
即 \( B(x) = A(x) * C^{-1}(x) ( mod x^{n+1} ) \)
多项式求逆即可;
别忘了外层的乘法还要处理一下 \( rev \) 数组。
代码如下:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=(<<),mod=;
int n,a[xn],b[xn],c[xn],t[xn],rev[xn],jc[xn],jcn[xn];
int rd()
{
int ret=,f=; char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();
return f?ret:-ret;
}
ll pw(ll a,int b)
{
ll ret=;
for(;b;b>>=,a=(a*a)%mod)if(b&)ret=(ret*a)%mod;
return ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
int C(int x){return ((ll)x*(x-)/)%(mod-);}
void init()
{
jc[]=;
for(int i=;i<=n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod;
jcn[n]=pw(jc[n],mod-);
for(int i=n-;i>=;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+]*(i+)%mod;
}
void ntt(int *a,int tp,int lim)
{
for(int i=;i<lim;i++)
if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int mid=;mid<lim;mid<<=)
{
int len=(mid<<),wn=pw(,tp==?(mod-)/len:(mod-)-(mod-)/len);
for(int j=;j<lim;j+=len)
for(int k=,w=;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
{
int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
}
}
if(tp==)return; int inv=pw(lim,mod-);
for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void inv(int *a,int *b,int n)
{
if(n==){b[]=pw(a[],mod-); return;}
inv(a,b,(n+)>>);
int lim=,l=;
while(lim<n+n)lim<<=,l++;
for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-)));
for(int i=;i<n;i++)t[i]=a[i];
for(int i=n;i<lim;i++)t[i]=;
ntt(t,,lim); ntt(b,,lim);
for(int i=;i<lim;i++)b[i]=upt((-(ll)t[i]*b[i])%mod*b[i]%mod);
ntt(b,-,lim);
for(int i=n;i<lim;i++)b[i]=;
}
int main()
{
n=rd(); init();
int lim=,l=;
while(lim<=n)lim<<=,l++;
for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)pw(,C(i))*jcn[i-]%mod;
for(int i=;i<lim;i++)c[i]=(ll)pw(,C(i))*jcn[i]%mod;
c[]=;
inv(c,b,n+);
for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-)));//!!!
ntt(a,,lim); ntt(b,,lim);
for(int i=;i<lim;i++)b[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
ntt(b,-,lim);
printf("%lld\n",(ll)b[n]*jc[n-]%mod);
return ;
}
多项式求逆
也可以用指数型生成函数,具体做法可以看这篇博客:https://blog.csdn.net/wzq_qwq/article/details/48435621
关于为什么 \( G(x) = e^{F(x)} \)
因为从组合意义上来看,任意无向图实际上可以分为:由0个连通图组成(没有点),由1个连通图组成,由2个连通图组成(这2个之间不连通),由3个连通图组成...
所以 \( G(x) = 1 + \frac{F(x)}{1!} + \frac{F(x)^{2}}{2!} + \frac{F(x)^{3}}{3!} + ... \)
即 \( G(x) = e^{F(x)} \)
而 \( G(x) \) 很好构造,求 \( F(x) = lnG(x) \)
求 \( ln \) 的方法可以看这两篇博客:
https://blog.csdn.net/litble/article/details/81749788
https://blog.csdn.net/ezoixx118/article/details/81235586
直接用上公式...这题原来是多项式求 \( ln \) 的裸题;
别忘了最后乘上 \( n! \)
代码如下:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=(<<),mod=;
int n,g[xn],dg[xn],ig[xn],t[xn],rev[xn],jc[xn],jcn[xn];
int rd()
{
int ret=,f=; char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();
return f?ret:-ret;
}
ll pw(ll a,ll b)
{
ll ret=; b=b%(mod-);
for(;b;b>>=,a=(a*a)%mod)if(b&)ret=(ret*a)%mod;
return ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
void init()
{
jc[]=;
for(int i=;i<=n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod;
jcn[n]=pw(jc[n],mod-);
for(int i=n-;i>=;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+]*(i+)%mod;
}
void ntt(int *a,int tp,int lim)
{
for(int i=;i<lim;i++)
if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int mid=;mid<lim;mid<<=)
{
int len=(mid<<),wn=pw(,tp==?(mod-)/len:(mod-)-(mod-)/len);
for(int j=;j<lim;j+=len)
for(int k=,w=;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
{
int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
}
}
if(tp==)return; int inv=pw(lim,mod-);
for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void inv(int *a,int *b,int n)
{
if(n==){b[]=pw(a[],mod-); return;}
inv(a,b,(n+)>>);
int lim=,l=;
while(lim<n+n)lim<<=,l++;
for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-)));
for(int i=;i<n;i++)t[i]=a[i];
for(int i=n;i<lim;i++)t[i]=;
ntt(t,,lim); ntt(b,,lim);
for(int i=;i<lim;i++)b[i]=upt((-(ll)t[i]*b[i])%mod*b[i]%mod);
ntt(b,-,lim);
for(int i=n;i<lim;i++)b[i]=;
}
int main()
{
n=rd(); init();
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(i<)g[i]=;
g[i]=(ll)pw(,(ll)i*(i-)/)*jcn[i]%mod;
}
for(int i=;i<=n;i++)dg[i-]=(ll)i*g[i]%mod;
dg[n]=;//
inv(g,ig,n+);
int lim=,l=;
while(lim<n+n)lim<<=,l++;
for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-)));
ntt(ig,,lim); ntt(dg,,lim);
for(int i=;i<lim;i++)dg[i]=(ll)ig[i]*dg[i]%mod;
ntt(dg,-,lim);
printf("%lld\n",(ll)dg[n-]*pw(n,mod-)%mod*jc[n]%mod);
return ;
}
多项式求ln
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