tarjan求强连通分量的思考

我是按照这里的思路来的。这个博文只是感性理解。

递归树

关于递归树，这篇博文讲的很好，我只是给自己总结一下。

定义vis数组，在dfs连通图时赋予它们不同的含义：

vis=0，表示这个点没有被访问。
vis=1，表示这个点被访问了，但是它的孩子还没有访问完。
vis=2，表示这个点被访问了，并且它的孩子访问完了。

一个连通图，一定可以表示成一个递归树，加上一些边。这些边的种类有：

树边，也就是递归树上的边。表现为访问(u, v)时，$vis[v]=0$。
回边，是一个点连向它递归树上的祖宗的边。表现为$vis[v]=1$。
前向边，是一个点连向它递归树上的子孙后代的边。表现为$vis[v]=2$。
横边，是一个除了前三种边以外的边，也就是说u和v没有什么祖宗关系。表现为$vis[v]=2$。

一个强连通的东西，必定在一棵递归树上，不会分散到多个上。不然那东西就不连通了，想要强连通更是不可能。

对了，如果将dfs访问到的时间，给递归树上的点编号，一个点的祖先的编号一定比这个点小。

tarjan搞一次出栈的一定是一个强连通的东西

还记得tarjan里，判断一个点是否出栈的依据吗？就是$dfn[u]=low[u]$。这意味着在u的子结点中，没有回往u以上的边，不然$low[u]<dfn[u]$。所以根据tarjan算法，如果u出栈，出栈的东西中编号最小的就是u。出栈的东西应该类似于这样（没画有向边，所以脑补吧）：

也就是说，一个节点只有间接连向u，才能和u组成一个强连通的东西。这导致强连通分量在递归树上，其实就是一堆链的集合体，也就是树。

重点来了。如果tarjan搞出来的东西中，有一些点不和其它点强连通，说明它不能间接连向u，而是会间接连向u的一个儿子v。如果$low[v]<dfn[v]$，这个点又可以间接连向$low[v]$...，以此类推，最终连向一个可以出栈的点，那个点u的是儿子。这就证明了，一次出栈搞出来的东西，和u都是强连通的。

tajan一次搞出来的，一定是一个强连通分量

这个标题和前面哪一个的区别是什么呢？就是一个是“东西”，一个是“分量”。分量意味着它大的不能再大了。所以这里要证明（弥天大雾，其实我这个根本不算证明）的，就是一次tarjan搞出来的，最小结点为u的强连通分量中，不会有其它点被遗漏。至于这个证明，我贴一个引用过来：

假设出栈的部分不完整，则本应该在这次出栈的点可能存在于栈的哪些部分呢？
1.之前出栈的部分
2.还没有入栈的部分
3.还没有出栈的部分
首先看2，不可能。因为假如没有入栈，说明这些点没有在这棵深度优先搜索树中，假如这些点在本该在该强连通分量中，则和定理1相违背，所以情况2中不可能包含本应该出栈的强连通分量中的点。再看3，也不可能。3中的点的dfn 和 low都分别小于本次出栈的点的dfn和low，也就说明本次出栈的点都无法访问到还没有出栈的点，所以情况3中不可能包含本应该出栈的强连通分量中的点。最后看情况1，其实情况1和情况3是类似的，之前出栈的部分A如果和本次出栈的强连通分量B可以组成更大的强连通分量，这就等价于，以之前出栈的强连通分量A为视角，亦是说A是不完整的，A中缺少的部分在还未出栈的节点和还没有访问的节点之中。这和之前的情况2，情况3推导矛盾，所以，情况1也不可能。