uva 10328 - Coin Toss 投硬币（dp递推，大数）

题意:抛出n次硬币（有顺序），求至少k个以上的连续正面的情况的种数。

思路：转换成求抛n个硬币，至多k-1个连续的情况种数，用所有可能出现的情况种数减去至多k-1个的情况，就得到答案了。此题涉及大数加减。

分析：

（1）假设n=k，那么只有一种情况。

（2）假设n=k+1，那么有3种情况，包含k个的两种，k+1个的一种。

（3）假设k=1，那么只有无正面这一种的情况不能被考虑，其他都能算，那么就是（1<<n）-1种。（n个硬币有2^n种结果）

（4）其他情况考虑递推。先把问题的规模降低，最小就是1了，再逐渐增大，每次规模增加1，直到n为止。用dp[n+1]这么大的数组就够了，而dp[n]表示从第1个硬币到第n个硬币中最多出现k-1个连续正面的情况种数。到这步，可以直接将拿到的k自减一，假设结果为t。那么问题转成求抛第i个硬币时，它和它前面不能超过t个正面。

（5）基于上面第4步的分析。可以看出，在抛第t个之前（包括第t个），最多就出现t个正面，不可能超过抛的次数的。那么dp[0~k]可以一次性初始化为1<<i，也就是有这么多抛法其结果都不会超过t个正面啦。

（6）考虑在抛第k+1个的情况，顶多也就一种不合法，也就是全面都是正面，那么种数就是(1<<k+1)-1。

（7）考虑在抛大于第k+2的情况，不妨设为dp[k+2]=dp[k+1]*2，但是这里面包含了大于t个的情况，只可能出现这样的情况：第k+2个刚好抛到正面，如果其前面与其连续的刚好有t个正面，那么就会造成连续t+1个正面，非法！但是不可能出现多于t+2个连续的可能，如果多于t+2，那么假设当前为正面，其前面必须有t+1个连续，而dp[k+1]中不会记录有非法的情况，所以不考虑。那么出现与第k+2个刚好连起来是t+1个连续的情况会有多少种?(k+2)-t-1这个位置肯定是反面的，不然就会造成连续t+2个了，那么在k+2-t-2及其之前所有不超过t个连续的情况种数就是出现“与k相连t+1个正面”的情况种数，减去这个数量即可。

总之，对于i大于k+2的，dp[i]=dp[i-1]*2-dp[i-t-2]。推到dp[n]时，所有可能都出来了。用所有可能数减去此数：答案= (1<<n)-dp[n]。

 #include <iostream>
 #include <vector>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 int n, k;
 long long a[];
 vector<string> ans;
 vector<string> pre;

 bool comp(string num1,string num2)
 {
     int leng=num1.length(),i;
     for(i=;i<leng;i++){if(num1[i]!='')break;}
     num1=num1.substr(i,leng);
     if(num1.length()==)num1="";

     leng=num2.length();
     for(i=;i<leng;i++){if(num2[i]!='')break;}
     num2=num2.substr(i,leng);
     if(num2.length()==)num2="";

     if(num1.length()>num2.length())return true;
     else if(num1.length()==num2.length())
     {
         if(num1>=num2)return true;
         else return false;
     }
     else return false;
 }
 string _minus(string num1,string num2)
 {
     string result;
     if(comp(num2,num1)){string ss=num1;num1=num2;num2=ss;}
     reverse(num1.begin(),num1.end());
     reverse(num2.begin(),num2.end());

     result="";

     int i;
     for(i=;i<int(num1.length())&&i<int(num2.length());i++)
     {
         char c=num1[i]-num2[i]+;
         result=result+c;
     }
     if(i<int(num1.length()))
         for(;i<int(num1.length());i++)
             result=result+num1[i];

     int jiewei=;
     for(i=;i<int(result.length());i++)
     {
         int zhi=result[i]-+jiewei;
         if(zhi<)   {zhi=zhi+;jiewei=-;}
         else    jiewei=;
         result[i]=(char)(zhi+);
     }

     for(i=result.length()-;i>=;i--)
         if(result[i]!='')
             break;

     result=result.substr(,i+);
     reverse(result.begin(),result.end());
     if(result.length()==)result="";
     return result;
 }
 string sum(string s1,string s2)
 {
     if(s1.length()<s2.length())
     {
         string temp=s1;
         s1=s2;
         s2=temp;
     }
     int i,j;
     for(i=s1.length()-,j=s2.length()-;i>=;i--,j--)
     {
         s1[i]=char(s1[i]+(j>=?s2[j]-'':));   //注意细节
         if(s1[i]-''>=)
         {
             s1[i]=char((s1[i]-'')%+'');
             if(i) s1[i-]++;
             else s1=''+s1;
         }
     }
     return s1;
 }

 void cal64()
 {
     ans[]="";
     for(int i=; i<=k; i++)
         ans[i]=pre[i];
     string tmp= sum(ans[k], ans[k]);
     ans[k+]=_minus(tmp,"");

     for(int i=k+; i<=n; i++)
     {
         tmp=sum( ans[i-], ans[i-] );
         ans[i]=_minus(tmp,ans[i-k-]);
     }
     cout<<_minus(pre[n], ans[n])<<endl;

 }

 void cal63()
 {
     a[]=;
     for(int i=; i<=k; i++)      //小于k的情况，直接2^k
         a[i]=a[i-]+a[i-];

     a[k+]=a[k]+a[k]-;
     for(int i=k+; i<=n; i++)
         a[i] = a[i-]-a[i-k-]+a[i-];

     cout<<((long long)<<n)-a[n]<<endl;
 }
 void init()
 {
     string tmp;
     ans.resize(,tmp);
     pre.resize(,tmp);
     pre[]="";
     for(int i=; i<; i++)
         pre[i]=sum(pre[i-], pre[i-]);
 }
 int main()
 {
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     init();
     while(cin>>n>>k)
     {

         if(n==k)
         {
             cout<<""<<endl;
             continue;
         }
         if(n==k+)
         {
             cout<<""<<endl;
             continue;
         }
         if(k==)
         {
             cout<<_minus(pre[n],"")<<endl;
             continue;
         }
         k--;
         if(n<)    //这里对抛62次以下的情况用longlong直接干掉。
             cal63();
         else    //大于62就用大数来算
             cal64();

     }
     return ;
 }

AC代码