HDU 6415 Rikka with Nash Equilibrium (计数DP)

题意：给两个整数n，m，让你使用 1 ~ n*m的所有数，构造一个矩阵n*m的矩阵，此矩阵满足：只有一个元素在它的此行和此列中都是最大的，求有多种方式。

析：根据题意，可以知道那个元素一定是 n * m，因为这个数是最大的，不会有其他可能了，我们考虑从大小到的顺序放，先放最大的，再放次大的，那么想想次大的位置应该是在哪呢，必然是在最大数的所有的行或者是所有的列，因为如果不这样做，那么它一定也是它所在行和列中最大的了，就不满足条件了，同样再放第三大的，也是要放到第一大或者是第二大的所有行或者是列中，同理其他也是这样。所以就有了状态方程，dp[i][j][k] 表示，i 行中已经放过数，j 列中已经放过数了，最后放的数是 k，因为正着放和反着放结果是一样的，所以我们可以正着放，也就是按照 1 ~ n*m放，转移方程如下：

1.考虑先增加新的一行，那么就是在已经存在的所有列中选择一列，然后再在该列中选择一个位置（此位置不能是行与列的交叉点）也就 dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k-1] * j * (n-i+1)

2.考虑都加新的一列，那么就是在已经存在的所有行中选择一行，然后再在该列中选择一个位置（此位置不能是行与列的交叉点），也就是 dp[i][j-1][k-1] * i * (m-j+1)

3.考虑放到行与列的交叉点上，dp[i][j][k] = dp[i][j][k-1] * (i*j-k+1)。

再考虑可以使用滚动数组进行优化，当然也可以不用优化。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 80 + 7;
int n, m;
int dp[2][maxn][maxn];
 
int main(){
  int T;  scanf("%d", &T);
  while(T--){
    int K;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &K);
    memset(dp[0], 0, sizeof dp[0]);
    dp[0][1][1] = n * m % K;
    int cur = 1;
    for(int k = 2; k <= n * m; ++k, cur ^= 1){
      memset(dp[cur], 0, sizeof dp[cur]);
      for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j){
          if(i * j < k)  continue;
          dp[cur][i][j] = ((LL)dp[cur^1][i][j] * (i*j-k+1) % K + (LL)dp[cur^1][i-1][j] * j * (n-i+1) % K + (LL)dp[cur^1][i][j-1] * i * (m-j+1)% K) % K;
        }
    }
    printf("%I64d\n", dp[cur^1][n][m]);
  }
  return 0;
}