KMP算法最浅显理解——一看就明白
说明
KMP算法看懂了觉得特别简单,思路很简单,看不懂之前,查各种资料,看的稀里糊涂,即使网上最简单的解释,依然看的稀里糊涂。
我花了半天时间,争取用最短的篇幅大致搞明白这玩意到底是啥。
这里不扯概念,只讲算法过程和代码理解:
KMP算法求解什么类型问题
字符串匹配。给你两个字符串,寻找其中一个字符串是否包含另一个字符串,如果包含,返回包含的起始位置。
如下面两个字符串:
char *str = "bacbababadababacambabacaddababacasdsd";
char *ptr = "ababaca";
str有两处包含ptr
分别在str的下标10,26处包含ptr。
“bacbababadababacambabacaddababacasdsd”;\
问题类型很简单,下面直接介绍算法
算法说明
一般匹配字符串时,我们从目标字符串str(假设长度为n)的第一个下标选取和ptr长度(长度为m)一样的子字符串进行比较,如果一样,就返回开始处的下标值,不一样,选取str下一个下标,同样选取长度为n的字符串进行比较,直到str的末尾(实际比较时,下标移动到n-m)。这样的时间复杂度是O(n*m)。
KMP算法:可以实现复杂度为O(m+n)
为何简化了时间复杂度:
充分利用了目标字符串ptr的性质(比如里面部分字符串的重复性,即使不存在重复字段,在比较时,实现最大的移动量)。
上面理不理解无所谓,我说的其实也没有深刻剖析里面的内部原因。
考察目标字符串ptr:
ababaca
这里我们要计算一个长度为m的转移函数next。
next数组的含义就是一个固定字符串的最长前缀和最长后缀相同的长度。
比如:abcjkdabc,那么这个数组的最长前缀和最长后缀相同必然是abc。
cbcbc,最长前缀和最长后缀相同是cbc。
abcbc,最长前缀和最长后缀相同是不存在的。
**注意最长前缀:是说以第一个字符开始,但是不包含最后一个字符。
比如aaaa相同的最长前缀和最长后缀是aaa。**
对于目标字符串ptr,ababaca,长度是7,所以next[0],next[1],next[2],next[3],next[4],next[5],next[6]分别计算的是
a,ab,aba,abab,ababa,ababac,ababaca的相同的最长前缀和最长后缀的长度。由于a,ab,aba,abab,ababa,ababac,ababaca的相同的最长前缀和最长后缀是“”,“”,“a”,“ab”,“aba”,“”,“a”,所以next数组的值是[-1,-1,0,1,2,-1,0],这里-1表示不存在,0表示存在长度为1,2表示存在长度为3。这是为了和代码相对应。
下图中的1,2,3,4是一样的。1-2之间的和3-4之间的也是一样的,我们发现A和B不一样;之前的算法是我把下面的字符串往前移动一个距离,重新从头开始比较,那必然存在很多重复的比较。现在的做法是,我把下面的字符串往前移动,使3和2对其,直接比较C和A是否一样。
代码解析
void cal_next(char *str, int *next, int len)
{
next[0] = -1;//next[0]初始化为-1,-1表示不存在相同的最大前缀和最大后缀
int k = -1;//k初始化为-1
for (int q = 1; q <= len-1; q++)
{
while (k > -1 && str[k + 1] != str[q])//如果下一个不同,那么k就变成next[k],注意next[k]是小于k的,无论k取任何值。
{
k = next[k];//往前回溯
}
if (str[k + 1] == str[q])//如果相同,k++
{
k = k + 1;
}
next[q] = k;//这个是把算的k的值(就是相同的最大前缀和最大后缀长)赋给next[q]
}
}
KMP
这个和next很像,具体就看代码,其实上面已经大概说完了整个匹配过程。
int KMP(char *str, int slen, char *ptr, int plen)
{
int *next = new int[plen];
cal_next(ptr, next, plen);//计算next数组
int k = -1;
for (int i = 0; i < slen; i++)
{
while (k >-1&& ptr[k + 1] != str[i])//ptr和str不匹配,且k>-1(表示ptr和str有部分匹配)
k = next[k];//往前回溯
if (ptr[k + 1] == str[i])
k = k + 1;
if (k == plen-1)//说明k移动到ptr的最末端
{
//cout << "在位置" << i-plen+1<< endl;
//k = -1;//重新初始化,寻找下一个
//i = i - plen + 1;//i定位到该位置,外层for循环i++可以继续找下一个(这里默认存在两个匹配字符串可以部分重叠),感谢评论中同学指出错误。
return i-plen+1;//返回相应的位置
}
}
return -1;
}
测试
char *str = "bacbababadababacambabacaddababacasdsd";
char *ptr = "ababaca";
int a = KMP(str, 36, ptr, 7);
return 0;
注意如果str里有多个匹配ptr的字符串,要想求出所有的满足要求的下标位置,在KMP算法需要稍微修改一下。见上面注释掉的代码。
复杂度分析
next函数计算复杂度是(m),开始以为是O(m^2),后来仔细想了想,cal__next里的while循环,以及外层for循环,利用均摊思想,其实是O(m),这个以后想好了再写上。
………………………………………..分割线……………………………………..
其实本文已经结束,后面的只是针对评论里的疑问,我尝试着进行解答的。
进一步说明(2018-3-14)
看了评论,大家对cal_next(..)函数和KMP()函数里的
while (k > -1 && str[k + 1] != str[q])
{
k = next[k];
}
和
while (k >-1&& ptr[k + 1] != str[i])
k = next[k];
这个while循环和k=next[k]很疑惑!
确实啊,我开始看这几行代码,相当懵逼,这写的啥啊,为啥这样写;后来上机跑了一下,慢慢了解到为何这样写了。这几行代码,可谓是对KMP算法本质得了解非常清楚才能想到的。很牛逼!
直接看cal_next(..)函数:
首先我们看第一个while循环,它到底干了什么。
在此之前,我们先回到原程序。原程序里有一个大的for()循环,那这个for()循环是干嘛的?
这个for循环就是计算next[0],next[1],…next[q]…的值。
里面最后一句next[q]=k就是说明每次循环结束,我们已经计算了ptr的前(q+1)个字母组成的子串的“相同的最长前缀和最长后缀的长度”。(这句话前面已经解释了!) 这个“长度”就是k。
好,到此为止,假设循环进行到 第 q 次,即已经计算了next[q],我们是怎么计算next[q+1]呢?
比如我们已经知道ababab,q=4时,next[4]=2(k=2,表示该字符串的前5个字母组成的子串ababa存在相同的最长前缀和最长后缀的长度是3,所以k=2,next[4]=2。这个结果可以理解成我们自己观察算的,也可以理解成程序自己算的,这不是重点,重点是程序根据目前的结果怎么算next[5]的).,那么对于字符串ababab,我们计算next[5]的时候,此时q=5, k=2(上一步循环结束后的结果)。那么我们需要比较的是str[k+1]和str[q]是否相等,其实就是str[1]和str[5]是否相等!,为啥从k+1比较呢,因为上一次循环中,我们已经保证了str[k]和str[q](注意这个q是上次循环的q)是相等的(这句话自己想想,很容易理解),所以到本次循环,我们直接比较str[k+1]和str[q]是否相等(这个q是本次循环的q)。
如果相等,那么跳出while(),进入if(),k=k+1,接着next[q]=k。即对于ababab,我们会得出next[5]=3。 这是程序自己算的,和我们观察的是一样的。
如果不等,我们可以用”ababac“描述这种情况。 不等,进入while()里面,进行k=next[k],这句话是说,在str[k + 1] != str[q]的情况下,我们往前找一个k,使str[k + 1]==str[q],是往前一个一个找呢,还是有更快的找法呢? (一个一个找必然可以,即你把 k = next[k] 换成k- -也是完全能运行的(更正:这句话不对啊,把k=next[k]换成k–是不行的,评论25楼举了个反例)。但是程序给出了一种更快的找法,那就是 k = next[k]。 程序的意思是说,一旦str[k + 1] != str[q],即在后缀里面找不到时,我是可以直接跳过中间一段,跑到前缀里面找,next[k]就是相同的最长前缀和最长后缀的长度。所以,k=next[k]就变成,k=next[2],即k=0。此时再比较str[0+1]和str[5]是否相等,不等,则k=next[0]=-1。跳出循环。
(这个解释能懂不?)
以上就是这个cal_next()函数里的
while (k > -1 && str[k + 1] != str[q])
{
k = next[k];
}
最难理解的地方的一个我的理解,有不对的欢迎指出。
复杂度分析:
分析KMP复杂度,那就直接看KMP函数。
int KMP(char *str, int slen, char *ptr, int plen)
{
int *next = new int[plen];
cal_next(ptr, next, plen);//计算next数组
int k = -1;
for (int i = 0; i < slen; i++)
{
while (k >-1&& ptr[k + 1] != str[i])//ptr和str不匹配,且k>-1(表示ptr和str有部分匹配)
k = next[k];//往前回溯
if (ptr[k + 1] == str[i])
k = k + 1;
if (k == plen-1)//说明k移动到ptr的最末端
{
//cout << "在位置" << i-plen+1<< endl;
//k = -1;//重新初始化,寻找下一个
//i = i - plen + 1;//i定位到该位置,外层for循环i++可以继续找下一个(这里默认存在两个匹配字符串可以部分重叠),感谢评论中同学指出错误。
return i-plen+1;//返回相应的位置
}
}
return -1;
}
这玩意真的不好解释,简单说一下:
从代码解释复杂度是一件比较难的事情,我们从
这个图来解释。
我们可以看到,匹配串每次往前移动,都是一大段一大段移动,假设匹配串里不存在重复的前缀和后缀,即next的值都是-1,那么每次移动其实就是一整个匹配串往前移动m个距离。然后重新一一比较,这样就比较m次,概括为,移动m距离,比较m次,移到末尾,就是比较n次,O(n)复杂度。 假设匹配串里存在重复的前缀和后缀,我们移动的距离相对小了点,但是比较的次数也小了,整体代价也是O(n)。
所以复杂度是一个线性的复杂度。
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