luogu题解 P4092 【[HEOI2016/TJOI2016]树】树链剖分

• 题目链接：

  https://www.luogu.org/problemnew/show/P4092

• 瞎扯--\(O(Q \log^3 N)\)解法

  这道先yy出了一个\(O(Q \log^3 N)\),的做法，先树链剖分。

  对于加标记操作，找到那个点所在的链，将其\(top\)标记一下，然后该点到根节点区间和+1.

  对于查询操作，先看这个点所在链有没有标记，如果没有，就一直向上跳直到找到一条标记了的链，然后在那条链上根据到根节点区间和进行倍增/二分

  然后出去吃饭的时候忽然想到了\(O(Q \log^2 N)\)的解法,于是刚刚这个解法刚打完还没有查错，放在这做一个参考

  代码：

include

include

include

include

include

include

include

define ll long long

define ri register int

using namespace std;

const int maxn=100005;

const int inf=0x7fffffff;

template inline void read(T &x){

x=0;int ne=0;char c;

while(!isdigit(c=getchar()))ne=c'-';

x=c-48;

while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;

x=ne?-x:x;

return ;

}

int n,q;

struct Edge{

int ne,to;

}edge[maxn<<1];

int h[maxn],num_edge=0;

inline void add_edge(int f,int t){

edge[++num_edge].ne=h[f];

edge[num_edge].to=t;

h[f]=num_edge;

return ;

}

int dep[maxn],fa[maxn],size[maxn],son[maxn],top[maxn],dfn[maxn],rnk[maxn],cnt=0;

void dfs_1(int now){

int v;size[now]=1;

for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){

v=edge[i].to;

if(vfa[now])continue;

fa[v]=now,dep[v]=dep[now]+1;

dfs_1(v);

size[now]+=size[v];

if(!son[now]||size[son[now]]<size[v])son[now]=v;

}

return ;

}

void dfs_2(int now,int t){

int v;top[now]=t;

dfn[now]=++cnt,rnk[cnt]=now;

if(!son[now])return ;

dfs_2(son[now],t);

for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){

v=edge[i].to;

if(vfa[now]||vson[now])continue;

dfs_2(v,v);

}

return ;

}

int sum[maxn<<2],tag[maxn<<2],L,R,dta,ok[maxn];

void build(int now,int l,int r){

if(lr){

sum[now]=ok[rnk[l]];

return ;

}

int mid=(l+r)>>1;

build(now<<1,l,mid);

build(now<<1|1,mid+1,r);

return ;

}

void pushdown(int now,int ln,int rn){

if(tag[now]){

sum[now<<1]+=tag[now]ln;

sum[now<<1|1]+=tag[now]rn;

tag[now<<1]+=tag[now];

tag[now<<1|1]+=tag[now];

tag[now]=0;

}

return ;

}

void update(int now,int l,int r){

if(L<=l&&r<=R){

sum[now]+=dta*(r-l+1);

tag[now]+=dta;

return ;

}

int mid=(l+r)>>1;

pushdown(now,mid-l+1,r-mid);

if(L<=mid)update(now<<1,l,mid);

if(mid<R)update(now<<1|1,mid+1,r);

sum[now]=sum[now<<1]+sum[now<<1|1];

return ;

}

int query(int now,int l,int r){

if(L<=l&&r<=R){

return sum[now];

}

int mid=(l+r)>>1,ans=0;

pushdown(now,mid-l+1,r-mid);

if(L<=mid)ans+=query(now<<1,l,mid);

if(mid<R)ans+=query(now<<1|1,mid+1,r);

sum[now]=sum[now<<1]+sum[now<<1|1];

return ans;

}

void update_path(int x,int y){

dta=1;ok[top[x]]=1;//该条链上有一个标记的点

while(top[x]!=top[y]){

if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);

L=dfn[top[x]],R=dfn[x];

update(1,1,n);

}

if(dfn[x]<dfn[y])swap(x,y);

L=dfn[x],R=dfn[y];

update(1,1,n);

return ;

}

inline int solve(int x,int y){

int tmp,val,p=0,k=1,len,ans=0;

bool flag=0;

while(top[x]!=top[y]){

if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);

len=dfn[x]-dfn[top[x]];

if(ok[top[x]]){

L=dfn[top[x]],R=dfn[x],

tmp=query(1,1,n);

p=0,k=1,flag=0;

while(k!=0){

L=dfn[x+p+k],R=dfn[x];

if(query(1,1,n)>tmp)flag=1,k=k>>1;

else p=p+k,k=k<<1;

while(p+k>len)k=k>>1;

}

if(flag)return ans+dfn[x+p]-dfn[x];

}

ans+=len;

x=fa[top[x]];

}

if(dfn[x]>dfn[y])swap(x,y);

L=dfn[x],R=dfn[y],len=dfn[y]-dfn[x];

tmp=query(1,1,n);

p=0,k=1;

//cout<<y<<endl;

if(xy)return ans;

while(k!=0){

L=dfn[x+p+k],R=dfn[x];

if(query(1,1,n)>tmp)k=k>>1;

else p=p+k,k=k<<1;

//if(y3)cout<<k<<' '<<p<<endl;

while(p+k>len)k=k>>1;

}

return ans+dfn[x+p]-dfn[x];

}

int main(){

char opt[5];

int x,y,z;

read(n),read(q);

for(ri i=1;i<n;i++){

read(x),read(y);

add_edge(x,y);

add_edge(y,x);

}

dep[1]=1,fa[1]=0;

dfs_1(1);

dfs_2(1,1);

ok[dfn[1]]=1;

build(1,1,n);

while(q--){

scanf("%s",opt);

if(opt[0]'C'){

read(x);

//cout<<x<<"-----"<<endl;

update_path(1,x);

}

else{

read(x);

//cout<<x<<"***"<<endl;

printf("%d\n",solve(x,1));

}

}

return 0;

}

- 分析---$O(Q \log^2 N)$解法

首先我想到了一个错误的解法，就是因为链是线段树上一个连续的区间，每个$[dfn[x],dfn[top[x]]]$线段树区间有个$mx$值,表示,$x$到$top[x]$路径中距离它最近标记的祖先，加标记时比较原有标记深度与新标记深度然后更新。查询的时候查询$x$到$top[x]$的区间最大之就可以了，如果没有，就一直往上跳直至找到

然而这个解法有个错误我SB地没有发现，就是你更新区间最大值时，$x$上的祖先节点也会被更新到（因为深度更小），再次感谢wjyyy和creed_两位大佬指出我的错误

正解应该是更新子树，将子树的最大值更新，查询照样，相比于我错误的代码只需改一句话

代码：

include

include

include

include

include

include

include

define ll long long

define ri register int

using namespace std;

const int maxn=100005;

const int inf=0x7fffffff;

template inline void read(T &x){

x=0;int ne=0;char c;

while(!isdigit(c=getchar()))ne=c'-';

x=c-48;

while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;

x=ne?-x:x;

return ;

}

int n,q;

struct Edge{

int ne,to;

}edge[maxn<<1];

int h[maxn],num_edge=0;

inline void add_edge(int f,int t){

edge[++num_edge].ne=h[f];

edge[num_edge].to=t;

h[f]=num_edge;

return ;

}

int dep[maxn],fa[maxn],size[maxn],son[maxn],top[maxn],dfn[maxn],rnk[maxn],cnt=0;

void dfs_1(int now){

int v;size[now]=0;

for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){

v=edge[i].to;

if(vfa[now])continue;

fa[v]=now,dep[v]=dep[now]+1;

dfs_1(v);

size[now]+=size[v];

if(!son[now]||size[son[now]]<size[v])son[now]=v;

}

return ;

}

void dfs_2(int now,int t){

int v;top[now]=t;

dfn[now]=++cnt,rnk[cnt]=now;

if(!son[now])return ;

dfs_2(son[now],t);

for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){

v=edge[i].to;

if(vfa[now]||vson[now])continue;

dfs_2(v,v);

}

return ;

}

int mx[maxn<<2],L,R,dta;

void build(int now,int l,int r){

if(lr){

if(rnk[l]1)mx[now]=1;

else mx[now]=0;

return ;

}

int mid=(l+r)>>1;

build(now<<1,l,mid);

build(now<<1|1,mid+1,r);

if(dep[mx[now<<1]]>dep[mx[now<<1|1]]){

mx[now]=mx[now<<1];

}

else mx[now]=mx[now<<1|1];

return ;

}

void update(int now,int l,int r){

if(L<=l&&r<=R){

if(dep[mx[now]]<dep[dta]){

mx[now]=dta;

}

return ;

}

int mid=(l+r)>>1;

if(L<=mid)update(now<<1,l,mid);

if(mid<R)update(now<<1|1,mid+1,r);

if(dep[mx[now<<1]]>dep[mx[now<<1|1]]){

mx[now]=mx[now<<1];

}

else mx[now]=mx[now<<1|1];

return ;

}

int query(int now,int l,int r){

if(L<=l&&r<=R){

return mx[now];

}

int mid=(l+r)>>1,ans=0,tmp;

if(L<=mid){

int tmp=query(now<<1,l,mid);

if(dep[ans]<dep[tmp])ans=tmp;

}

if(mid<R){

int tmp=query(now<<1|1,mid+1,r);

if(dep[ans]<dep[tmp])ans=tmp;

}

return ans;

}

void update_path(int x){

dta=x;

//L=R=dfn[x];

L=dfn[x],R=dfn[x]+size[x];

update(1,1,n);

return ;

}

int query_path(int x){

int ans=0;

while(top[x]!=1){

L=dfn[top[x]],R=dfn[x];

ans=query(1,1,n);

if(ans!=0)return ans;

x=fa[top[x]];

}

L=dfn[1],R=dfn[x];

ans=query(1,1,n);

return ans;

}

int main(){

char opt[5];

int x,y,z;

read(n),read(q);

for(ri i=1;i<n;i++){

read(x),read(y);

add_edge(x,y);

add_edge(y,x);

}

dep[0]=-1,dep[1]=1,fa[1]=0;

dfs_1(1);

dfs_2(1,1);

build(1,1,n);

while(q--){

//cout<<q<<endl;

scanf("%s",opt);

if(opt[0]=='C'){

read(x);

update_path(x);

}

else{

read(x);

printf("%d\n",query_path(x));

}

}

return 0;

}

```