[Usaco2010 Dec]Exercise 奶牛健美操

题目

Farmer John为了保持奶牛们的健康,让可怜的奶牛们不停在牧场之间 的小路上奔跑。这些奶牛的路径集合可以被表示成一个点集和一些连接 两个顶点的双向路,使得每对点之间恰好有一条简单路径。简单的说来, 这些点的布局就是一棵树,且每条边等长,都为1。 对于给定的一个奶牛路径集合,精明的奶牛们会计算出任意点对路径的最大值, 我们称之为这个路径集合的直径。如果直径太大,奶牛们就会拒绝锻炼。 Farmer John把每个点标记为1..V (2 <= V <= 100,000)。为了获得更加短 的直径,他可以选择封锁一些已经存在的道路,这样就可以得到更多的路径集合, 从而减小一些路径集合的直径。 我们从一棵树开始,FJ可以选择封锁S (1 <= S <= V-1)条双向路,从而获得 S+1个路径集合。你要做的是计算出最佳的封锁方案,使得他得到的所有路径集合 直径的最大值尽可能小。 Farmer John告诉你所有V-1条双向道路,每条表述为:顶点A_i (1 <= A_i <= V) 和 B_i (1 <= B_i <= V; A_i!= B_i)连接。 我们来看看如下的例子:线性的路径集合(7个顶点的树) 1---2---3---4---5---6---7 如果FJ可以封锁两条道路,他可能的选择如下: 1---2 | 3---4 | 5---6---7 这样最长的直径是2,即是最优答案(当然不是唯一的)。

INPUT

第1行: 两个空格分隔的整数V和S * 第2...V行: 两个空格分隔的整数A_i和B_i

OUTPUT

第1行:一个整数,表示FJ可以获得的最大的直径。

SAMPLE

INPUT

7 2

6 7

3 4

6 5

1 2

3 2

4 5

OUTPUT

2

解题报告

二分答案$+$贪心验证,竟然放在$DP$专题里= =(可能是我造化不够)

首先我们可以看到题面中闪闪发光的一句话

最大值尽可能小

这东西一眼看上去就知道,二分差不多就是可行的了

我们可以二分该最小值,然后验证其是否合法

我们设$f[i]$表示以第$i$个节点为根的子树中,合法的最长直链的长度

合法:

即保证最长链长度不可大于二分的答案

直链:

指链两端点路径不跨过根节点的链

然后我们就可以用$f[i]$计算要砍去多少条边,从而判断当前二分出的答案的合法性

那么问题来了,如何计算$f[i]$

显然直接求$max(f[son])$是不可行的,因为这不保证合法,但我们想,当我们选出两条儿子所在的直链,发现当他们接在一起时长度过大,需要从中砍断的时候,会有这样的事情:

  1. 砍较长链链顶的边最优
  2. 砍完该边后,该链不再对父节点造成影响

第二点显然,砍完之后该链与父节点不再属于同一联通块内,故不会再影响

第一点也很显然(废话),如果我们砍较短链,或者不是链顶的边,那么最长直链可能还会与其他直链相接再次产生不合法链,需要多砍一次,所以砍较长链链顶的边是最优的

那么我们就可以处理了,将当前节点的所有$f[son]$从大到小排序,依次枚举,判断相邻的两条直链长度相接是否合法,假如合法,将$f[i]$赋值,否则继续枚举,并且记录砍掉的边的数目$++$

注意处理某些奇怪的边界问题

 #include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
inline int read(){
int sum();
char ch(getchar());
for(;ch<''||ch>'';ch=getchar());
for(;ch>=''&&ch<='';sum=sum*+(ch^),ch=getchar());
return sum;
}
struct edge{
int e;
edge *n;
}a[],*pre[];
int tot;
inline void insert(int s,int e){
a[++tot].e=e;
a[tot].n=pre[s];
pre[s]=&a[tot];
}
int n,m;
int f[],fa[];
int ans;
int mid,num;
int tmp[];
inline bool cmp(int x,int y){
return x>y;
}
inline void dfs(int u){
bool flag(false);
for(edge *i=pre[u];i;i=i->n){
int e(i->e);
if(e!=fa[u]){
flag=true;
fa[e]=u;
dfs(e);
}
}
if(!flag)
return;
tmp[]=;
f[u]=;
for(edge *i=pre[u];i;i=i->n){
int e(i->e);
if(e!=fa[u])
tmp[++tmp[]]=f[e]+;
}
int size(tmp[]);
sort(tmp+,tmp++size,cmp);
tmp[size+]=;
for(int i=;i<=size;++i){
if(tmp[i]+tmp[i+]>mid)
++num;
else{
f[u]=tmp[i];
break;
}
}
}
inline bool check(){
num=;
memset(f,,sizeof(f));
dfs();
if(num<=m)
return true;
return false;
}
inline void ef(int l,int r){
while(l<=r){
mid=(l+r)>>;
if(check())
r=mid-,ans=mid;
else
l=mid+;
}
}
int main(){
memset(pre,NULL,sizeof(pre));
n=read(),m=read();
for(int i=;i<n;++i){
int x(read()),y(read());
insert(x,y),insert(y,x);
}
ef(,n);
printf("%d",ans);
}

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