学大伟业国庆Day2

期望得分：30+100+0=130

实际得分：30+100+20=150

忍者钩爪

(ninja.pas/c/cpp)

【问题描述】

小Q是一名酷爱钩爪的忍者，最喜欢飞檐走壁的感觉，有一天小Q发现一个练习使用钩爪的好地方，决定在这里大显身手。

场景的天花板可以被描述为一个无穷长的数轴，初始小Q挂在原点上。数轴上有N个坐标为整数的圆环供小Q实现钩爪移动。具体操作为：小Q可以将钩爪挂到圆环上，进而荡到关于圆环坐标轴对称的位置。例如小Q在3，圆环在7，则小Q可以通过该圆环移动到11。

现在一个问题难倒了小Q，如何判断自己能否到达某个整点呢？

【输入格式】

第一行两个整数N,M，表示圆环的数量和询问组数

接下来一行共N个整数描述每个圆环的坐标(可重复)

接下来M行每行包含一个整数描述询问

【输出格式】

共M行对应M个询问，若小Q能移动到目标点，输出Yes，否则输出No

题解（不是我的，所以有问题不要问我）：

对于30%的分数

可以使用暴力记忆化搜索得出答案。即维护每个坐标是否可达，继而进行搜索。

对于60%的分数

通过观察可知设当前坐标为x，则通过坐标为a的圆环可移动到2a-x处。连续通过两个圆环(a,b)可以移动到x+(2b-2a)处。

先以移动步数为偶数情况考虑简化版问题：设圆环坐标为a[1]~a[n]，对于任意两个圆环，可由坐标x变为x+2(a[j]-a[i])，题目转化为对于N^2个数其中b[i,j]=2(a[j]-a[i])，通过有限次加减运算能否由x=0变化至目标。

根据广义裴蜀定理以及扩展欧几里得相关原理可知，当且仅当目标为gcd的倍数时有解。故预处理出全部可能的2(a[j]-a[i])，求出其最大公约数，在判断目标是否为gcd的倍数即可。

对于奇数的情况，可以通过枚举第一步的方案转化为偶数的情况，即维护一个set表示0步或1步可达点集(mod gcd意义下)，再查询目标点在mod gcd下是否属于这个集合即可。复杂度瓶颈在于N^2个数求gcd。

对于100%的分数

通过欧几里得算法的性质与更相减损术可知gcd(a,b)=gcd(a-b,b)。设p1={2*(a[i]-a[1])|i>1}的最大公约数，设p2={2*(a[i]-a[j])}的最大公约数，易知p1>=p2（因为p1比p2约束宽松）。而对于任意i,j由于p1同时是2*(a[i]-a[1])、2*(a[j]-a[1])的约束，那么p1也一定是任意2*(a[i]-a[1])-2*(a[j]-a[1])=2*(a[i]-a[j])的约数，故p1<=p2。综上所述p1=p2，这样就不需要N^2个数同时求gcd了，只求p1即可，可获得满分。

#include<set>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
#define N 100001
 
LL a[N];
 
set<LL>S;
 
void read(LL &x)
{
    x=; int f=; char c=getchar();
    while(!isdigit(c))  { if(c=='-') f=-;  c=getchar(); }
    while(isdigit(c)) { x=x*+c-''; c=getchar(); }
    x*=f;
}
 
LL getgcd(LL i,LL j) { return !j ? i : getgcd(j,i%j); }
 
int main()
{
    freopen("ninja.in","r",stdin);
    freopen("ninja.out","w",stdout);
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=;i<=n;i++) read(a[i]);
    LL gcd=;
    for(int i=;i<=n;i++) gcd=getgcd(abs(a[i]-a[]<<),gcd);
    LL x;
    if(gcd)
    {
        S.insert();
        for(int i=;i<=n;i++) S.insert((*a[i]%gcd+gcd)%gcd);
        while(m--)
        {
            read(x);
            puts(S.find((x%gcd+gcd)%gcd)!=S.end() ? "Yes" : "No");
        }
    }
    else
    {
        while(m--)
        {
            read(x);
            puts(x==a[]* ? "Yes" : "No");
        }
    }
}

30暴力

#include<cstdio>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
int tmp[];
 
int n,a[];
 
bool ok[];
 
void judge()
{
    int cnt1=,cnt2=;
    for(int i=;i<=n;i++)
        if(tmp[i]==) cnt1++;
        else if(tmp[i]==-) cnt2++;
    if(cnt1==cnt2 || cnt1==cnt2+)
    {
        int t=;
        for(int i=;i<=n;i++) t+=tmp[i]*a[i];
        ok[t]=true;
    }
}
 
void dfs(int now)
{
    if(now==n+)
    {
        judge();
        return;
    }
    tmp[now]=; dfs(now+);
    tmp[now]=; dfs(now+);
    tmp[now]=-; dfs(now+);
}
 
int main()
{
    freopen("ninja.in","r",stdin);
    freopen("ninja.out","w",stdout);
    int m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=;i<=n;i++)  scanf("%d",&a[i]);
    int x;
    if(n<=)
    {
        dfs();
        for(int i=;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if(x&) puts("No");
            else puts(ok[x>>] ? "Yes" : "No");
        }
    }
    else
    {
        sort(a+,a+n+);
        long long maxn=,minn; int mid=n/;
        if(mid==n*)
        {
            for(int i=;i<=mid;i++) maxn+=a[mid+i]-a[i];
        }
        else
        {
            for(int i=;i<=mid;i++) maxn+=a[mid+i+]-a[i];
            maxn+=a[mid+];
        }
        minn=-maxn;
        for(int i=;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if(x&) puts("Yes");
            else if(x>maxn || x<minn) puts("No");
            else puts("Yes");
        }
    }
}

线段树

先下放取反标记，在下方加标记

下放取反标记时，若存在加标记，加标记也取反

关键是如何处理加标记的影响

设当前线段树区间有4个数x1，x2，x3，x4

sum[i] 表示选出i个数的乘积的和

sum[1]=x1+x2+x3+x4

sum[2]=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4

sum[3]=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4

sum[4]=x1x2x3x4

操作：区间加a

以sum[3]为例

新的sum[3]=

(x1+a)(x2+a)(x3+a) +

(x1+a)(x2+a)(x4+a) +

(x1+a)(x3+a)(x4+a) +

(x2+a)(x3+a)(x4+a)

=x1x2x3+a(x1x2+x1x3+x2x3)+a^2(x1+x2+x3)+a^3 +

x1x2x4+a(x1x2+x1x4+x2x4)+a^2(x1+x2+x4)+a^3 +

x1x3x4+a(x1x3+x1x4+x3x4)+a^2(x1+x3+x4)+a^3 +

x2x3x4+a(x2x3+x2x4+x3x4)+a^2(x2+x3+x4)+a^3

=sum[3] + a*sum[2]*2 + a^2*sum[1]*3 + a^4

所以对有siz个元素的区间执行区间加a操作

那么sum[]的更新：

for i： 10 ——> 1

for j：i-1——>1

sum[i]+=a^(i-j)*sum[j]*C(siz-j,i-j)

解释：

有i个（xi+a）相乘

从里面选出j个xi，那就只能选i-j个a

后面那个组合数？

一共有siz个（xi+a），已经确定了有j个（xi+a）选择xi

一共要选i个（xi+a），那就要从剩下的siz-j个（xi+a）里选出 i-j个（xi+a）来用他们的a

所以是C（siz-j，i-j）

区间的合并

枚举左边选j个，那右边就选i-j个，乘起来就行了

例：

假设当前要选3个数

左边有2个数x1，x2 选1个，

右边有3个数x3，x4，x5 选2个

那就是 x1*x3*x4+x1*x3*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x2*x3*x5+x2*x4*x5

=x1*右边的sum[2]+x2*右边的sum[2]

=左边的sum[1] * 右边的sum[2]

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
#define N 50001
 
const int mod=1e9+;
 
typedef long long LL;
 
int n;
 
int C[N][];
 
int f[N<<];
int siz[N<<],mid[N<<];
bool rev[N<<];
 
struct node { int sum[]; }ans[N<<];
 
void read(int &x)
{
    x=; int ff=; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) { if(c=='-') ff=-; c=getchar(); }
    while(isdigit(c)) { x=x*+c-''; c=getchar(); }
    x*=ff;
}
 
int tot=;
 
void MOD(int &a,int b)
{
    a+=b;
    a-= a>=mod ? mod : ;
}
 
void pre(int n)
{
    C[][]=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        C[i][]=;
        for(int j=;j<=min(i,);j++) C[i][j]=(C[i-][j]+C[i-][j-])%mod;
    }
}
 
void update(int k)
{
    for(int i=;i<=;i++)
    {
        ans[k].sum[i]=;
        for(int j=;j<i;j++) MOD(ans[k].sum[i],1ll*ans[k<<].sum[j]*ans[k<<|].sum[i-j]%mod);
        MOD(ans[k].sum[i],ans[k<<].sum[i]); MOD(ans[k].sum[i],ans[k<<|].sum[i]);
    }
}
 
void build(int k,int l,int r)
{
    siz[k]=r-l+;
    if(l==r) { read(ans[k].sum[]); MOD(ans[k].sum[],); return; }
    mid[k]=l+r>>;
    build(k<<,l,mid[k]); build(k<<|,mid[k]+,r);
    update(k);
}
 
void insert(int k,int w)
{
    MOD(f[k],w);
    for(int i=;i;i--)
    {
        int x=w;
        for(int j=i-;j;j--,x=1ll*x*w%mod)
            MOD(ans[k].sum[i],1ll*x*ans[k].sum[j]%mod*C[siz[k]-j][i-j]%mod);
        MOD(ans[k].sum[i],1ll*x*C[siz[k]][i]%mod);
    }
}
 
void turn(int k)
{
    rev[k]^=;
    if(f[k]) f[k]=mod-f[k];
    for(int i=;i>;i-=)
        if(ans[k].sum[i]) ans[k].sum[i]=mod-ans[k].sum[i];
}
 
void down(int k)
{
    if(rev[k]) turn(k<<),turn(k<<|),rev[k]=;
    if(f[k]) insert(k<<,f[k]),insert(k<<|,f[k]),f[k]=;
}
 
void add(int k,int l,int r,int opl,int opr,int w)
{
    if(l>=opl && r<=opr) { insert(k,w); return; }
    down(k);
    if(opl<=mid[k]) add(k<<,l,mid[k],opl,opr,w);
    if(opr>mid[k]) add(k<<|,mid[k]+,r,opl,opr,w);
    update(k);
}
 
void reverse(int k,int l,int r,int opl,int opr)
{
    if(l>=opl && r<=opr)  { turn(k); return; }
    down(k);
    if(opl<=mid[k]) reverse(k<<,l,mid[k],opl,opr);
    if(opr>mid[k]) reverse(k<<|,mid[k]+,r,opl,opr);
    update(k);
}
 
node query(int k,int l,int r,int opl,int opr,int w)
{
    if(l>=opl && r<=opr) return ans[k];
    down(k);
    if(opr<=mid[k]) return query(k<<,l,mid[k],opl,opr,w);
    else if(opl>mid[k]) return query(k<<|,mid[k]+,r,opl,opr,w);
    else
    {
        node L=query(k<<,l,mid[k],opl,opr,w),R=query(k<<|,mid[k]+,r,opl,opr,w);
        node tmp;
        for(int i=;i<=w;i++)
        {
            tmp.sum[i]=(L.sum[i]+R.sum[i])%mod;
            for(int j=;j<i;j++) MOD(tmp.sum[i],1ll*L.sum[j]*R.sum[i-j]%mod);
        }
        return tmp;
    }
}
 
int main()
{
    freopen("game.in","r",stdin);
    freopen("game.out","w",stdout);
    int n,m;
    read(n); read(m);
    pre(n);
    build(,,n);
    int ty,l,r,w;
    while(m--)
    {
        read(ty); read(l); read(r);
        if(ty==)
        {
            read(w); w%=mod;
            w+= w< ? mod : ;
            add(,,n,l,r,w);
        }
        else if(ty==) reverse(,,n,l,r);
        else
        {
            read(w);
            node p=query(,,n,l,r,w);
            printf("%d\n",query(,,n,l,r,w).sum[w]);
        }
    }
}

20分暴力

#include<cstdio>
#include<cmath>
 
using namespace std;
 
int n,N,d;
 
double a[][],b[];
 
int ty[],tmp[],bit[];
 
double ans;
 
void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&N);
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=n;j++)
            scanf("%lf",&a[i][j]);
    scanf("%d",&d);
    for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&ty[i]);
}
 
void add(double may)
{
    int t=;
    for(int i=;i<=N;i++) t+=tmp[i]*bit[i-];
    b[t]+=may;
}
 
void dfs(int tim,int now,double may)
{
    if(tim==N+) { add(may); return; }
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        tmp[tim]=ty[i];
        dfs(tim+,i,may*a[now][i]);
    }
}
 
int main()
{
    freopen("walk.in","r",stdin);
    freopen("walk.out","w",stdout);
    init();
    tmp[]=ty[];
    bit[]=; for(int i=;i<=N;i++) bit[i]=bit[i-]*;
    dfs(,,1.0);
    int tot=pow(,N);
    for(int i=;i<tot;i++) ans+=b[i]*b[i];
    printf("%.9lf",ans);
}