multivariate generating function MGF 多变量生成函数

MGF多变量生成函数multivariate generating function

定义

比如,以前可能让你计数有\(k-1\)个逆序对的n-排列个数\(A(n,k)\)

现在让你计数

指定了n-排列圆分解后各个长度\(j\)的cycles的个数\(\chi_j\),让你计数

或者,指定了各字符出现频数的长n的字符串个数

例子

the exponential MGF of permutation with \(u_1,u_2\) marking the number of 1-cycles and 2-cycles to be

\[P\left(z, u_{1}, u_{2}\right)=\frac{\exp \left(\left(u_{1}-1\right) z+\left(u_{2}-1\right) \frac{z^{2}}{2}\right)}{1-z}
\]

可以想象其实还有其他的\(u_j\),这些\(u_j\)都取1了

如果取$u_1=u_2=1 $ , 对应的是计数所有的n-排列个数的EGF

\[P(z,1,1)=(1-z)^{-1}
\]

对应的计数是\(n!\)

如果\(u_1=0,u_2=1\),给出derangement(错排;长度为1的cycles的个数为0)的EGF

\[P(z,0,1)=e^{-z}/(1-z)
\]

对应的计数是\((n!)(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}...+(-1)^{n}\frac{1}{(n)!})\)

如果\(u_1=u_2=0\) ,给出所有的cycles长度都大于2的n-排列个数的EGF

\[P(z,0,0)=e^{-z-z^2/2}/(1-z)
\]

对应的计数是$

a(n) = \sum_{i=3..n} \binom{n-1}{i-1}\cdot (i-1)! \cdot a(n-i).a(0)=1,a(1)=0,a(2)=0$ https://oeis.org/A038205

如果置\(u_1=u,u_2=1\),给出有k个singleton cycles(k个位置正好不变)的n-排列的EBGF

\[P(z,u,1)=\frac{e^{(u-1)z}}{1-z}
\]

对应的计数是 \(\tbinom{n}{k}(n-k)!(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}...+(-1)^{n-k}\frac{1}{(n-k)!})\)

Extremal parameters

现在要研究这样的问题:

比如:

一个例子是the largest component in a combinatorial structure (for instance, the largest cycle of a permutation) ,指定了排列的长度\(n\)和最大的cycle长度\(k\),让你计数

另一个例子是 the maximum degree of nesting of constructions in a recursive structure (typically, the height of a tree). 制定了树的节点数\(n\)和树的的高度\(h\),让你计数

面对这样的问题,(传统的)BGF无能为力。

III.8.1 largest components

例子1 decomposition of permutations

the cycle decomposition of permutations translated by

\[P(z)=\exp \left(\log \frac{1}{1-z}\right)
\]

使用truncation后,得到the EGF of permutations with longest cycle≤ b

\[P^{\langle b\rangle}(z)=\exp \left(\frac{z}{1}+\frac{z^{2}}{2}+\cdots+\frac{z^{b}}{b}\right)
\]

by the way,the EGF of permutations with smallest cycle of size > b

\[\begin{aligned}
\exp(\log \frac{1}{1-z}-\frac{z}{1}-\frac{z^{2}}{2}-\cdots-\frac{z^{b}}{b})=\frac{1}{1-z}\exp(-\frac{z}{1}-\frac{z^{2}}{2}-\cdots-\frac{z^{b}}{b})
\end{aligned}
\]

例子2 words over an m–ary alphabet

the EGF of words over an m–ary alphabet

\[W(z)=(e^z)^m
\]

使用truncation后,得到the EGF of words such that each letter occurs at most b times

\[W^{(b)}(z)=\left(1+\frac{z}{1 !}+\frac{z^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{z^{b}}{b !}\right)^{m}
\]

例子3 set partitions

the EGF of set partitions

\[S(z)=exp(e^z-1)
\]

the EGF of set partitions with largest block of size at most b

\[S^{\langle b\rangle}(z)=\exp \left(\frac{z}{1 !}+\frac{z^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{z^{b}}{b !}\right)
\]

例子4 the longest run in a sequence of binary draws

\(\mathcal{W}=\operatorname{SEQ}(a) \cdot \operatorname{SEQ}(b \operatorname{SEQ}(a))\)这么写有点正则的感觉,比如aabbbaabaa分解过来就是 aa|b|b|baa|baa

III.8.2 Height

例子1 plane trees

general plane trees定义是这样的

\[\mathcal{G}=\mathcal{N} \times \operatorname{SEQ}(\mathcal{G}) \quad \text { so that } \quad G(z)=\frac{z}{1-G(z)}
\]

定义一个树的高度是最长的分支(branch)的边的个数,那么the set of trees of height\(\leq h\) 满足如下的递归关系

\[\mathcal{G}^{[0]}=\mathcal{N}, \mathcal{G}^{[h+1]}=\mathcal{N} \times \operatorname{SEQ}\left(\mathcal{G}^{[h]}\right)
\]

对应的OGF满足

\[G^{[-1]}(z)=0, G^{[0]}(z)=z, G^{[h+1]}(z)=\frac{z}{1-G^{[h]}(z)}
\]

展开得到(别问连分数怎么打的,问就是\frac套\frac)

\[G^{[h]}(z)=\frac{z}{1-\frac{z}{1-\frac{z}{\frac{\ddots}{1-z}}}}
\]

例子2 plane binary trees

平面二叉树定义如下

\[\mathcal{B}=\mathcal{Z}+\mathcal{B} \times \mathcal{B} \quad \text { so that } \quad B(z)=z+(B(z))^{2}
\]

递归关系是

\[B^{[0]}(z)=z, B^{[h+1]}(z)=z+\left(B^{[h]}(z)\right)^{2}
\]

得到

\[B^{[h]}(z)=z+\left(z+\left(z+(\cdots)^{2}\right)^{2}\right)^{2}
\]

例子3 Cayley trees

CayleyTree词条 所有非叶子节点的度都为\(n\)的树叫n-CayleyTree

Cayley树定义方程

\[\mathcal{T}=\mathcal{Z} \star \operatorname{SET}(\mathcal{T}) \quad \text { so that } \quad T(z)=z e^{T(z)}
\]

有界高度的CayleyTrees的EGF的递归关系

\[T^{[0]}(z)=z, T^{[h+1]}(z)=z e^{T^{[h]}(z)}
\]

得到\(T^{[h]}(z)\)的"连指数“形式

\[T^{[h]}(z)=z e^{z e^{z e^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{ze^z}}}}} }
\]

III 8.3 Averages and moments

没看懂


资料来自网络

书用的是Analytic Combinatorics by Philippe Flajolet, Robert Sedgewick

MGF multivariate generating function 多变量生成函数的更多相关文章

  1. 矩量母函数(Moment Generating Function,mgf,又称:动差生成函数)

    在统计学中,矩又被称为动差(Moment).矩量母函数(Moment Generating Function,简称mgf)又被称为动差生成函数. 称exp(tξ)的数学期望为随机变量ξ的矩量母函数,记 ...

  2. 【转】母函数(Generating function)详解 — TankyWoo(红色字体为批注)

    母函数(Generating function)详解 - Tanky Woo 在数学中,某个序列的母函数(Generating function,又称生成函数)是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供 ...

  3. 母函数(Generating function)详解

    母函数(Generating function)详解 在数学中,某个序列的母函数(Generating function,又称生成函数)是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息.使用 ...

  4. polynomial&generating function学习笔记

    生成函数 多项式 形如$\sum_{i=0}^{n}a_i x^i$的代数式称为n阶多项式 核函数 {ai}的核函数为f(x),它的生成函数为sigma(ai*f(i)*x^i) 生成函数的加减 {a ...

  5. 读书笔记 1 of Statistics :Moments and Moment Generating Functions (c.f. Statistical Inference by George Casella and Roger L. Berger)

    Part 1: Moments Definition 1 For each integer $n$, the nth moment of $X$, $\mu_n^{'}$ is \[\mu_{n}^{ ...

  6. 母函数(Generation Function) 入门 + 模板

    转自:母函数 入门 + 模板  感谢 在数学中,某个序列的母函数(Generating function,又称生成函数)是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息.使用母函数解决问题的 ...

  7. 生成函数(TBC)

    生成函数 生成函数 (Generating Function) 的应用简单来说在于研究未知(通项)数列规律,用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项. 对于一个数列 aaa,称f(x)=∑i=0n ...

  8. [zz] 混合高斯模型 Gaussian Mixture Model

    聚类(1)——混合高斯模型 Gaussian Mixture Model http://blog.csdn.net/jwh_bupt/article/details/7663885 聚类系列: 聚类( ...

  9. HDU 2082 母函数模板题

    找单词 Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 32768KB   64bit IO Format: %I64d & %I64u Submit Status De ...

  10. 整数划分 Integer Partition(一)

    话说今天百度面试,可能是由于我表现的不太好,面试官显得有点不耐烦,说话的语气也很具有嘲讽的意思,搞得我有点不爽.Whatever,面试中有问到整数划分问题,回答这个问题过程中被面试官搞的不胜其烦,最后 ...

随机推荐

  1. XSStrike-20220320

    Usage: xsstrike.py [-h] [-u TARGET] [--data PARAMDATA] [-e ENCODE] [--fuzzer] [--update] [--timeout ...

  2. centos8 安装 spdk

    1. 下载 2.配置 ./configure --enable-debug --disable-tests --without-isal --without-ocf  --with-uring --w ...

  3. c++学习5 预处理

    一 内存分区 内存的分区变量存储,一般可以分为以下五个区,它们分别是: 可读可写     堆区:使用malloc.calloc.realloc.free以及c++里面的new和delete去动态申请. ...

  4. xlwings简单使用

    xlwings能够非常方便的读写Excel文件中的数据,并且能够进行单元格格式的修改 xlwings基本操作 打开已有的Excel文档 # 导入xlwings模块 # 打开Excel程序,默认设置:程 ...

  5. 使用bat脚本判断远程SVN文件是否有修改

    在Windows上, 使用 svn status -u -q %dir% 可以列出svn仓库的状态: M 8295 build.bat * 8306 E:\game\bzk\dev\tools\pro ...

  6. python读取与处理netcdf数据

    netcdf是气候数据中的主流格式,当涉及到大范围的全球数万个格网点数据时,使用python脚本可以较快地读取与处理. import netCDF4 from netCDF4 import Datas ...

  7. deepin系统编辑pdf文件的两个简单方法(终端命令行模式)

    DEEPIN深度系统编辑PDF文件有时竟然超级简单好用,比WINDOWS系统需要单独下载一个PDF编辑软件的方法强多了,而且windows系统PDF编辑软件还有版权限制,各种作啊. 下面的两条命令,使 ...

  8. 20220718 第七组 陈美娜 java

    如果把变量直接声明在类里:成员变量(全局变量)成员变量->属性 如果把变量声明在某个方法里:局部变量 public:访问权限修饰符,后面讲 void:没有返回值 run():方法名,标识符 {} ...

  9. 在vscode中用tsc编译ts文件的时候报错,tsc : 无法加载文件,因为在此系统上禁止运行脚本;SecurityError

    1. TypeScript安装成功,在C盘的Administrator目录下,运行 tsc -v 也可看到TypeScript的版本.  2. 但在vscode中的时候运行tsc 编译ts文件的时候报 ...

  10. 2、HTTP的消息格式

    概念 HTTP协议 Hyper Text Transfer Protocol 超文本传输协议 传输协议 传输协议定义了客户端和服务器端通信时,发送数据的格式. 特点 基于TCP/IP的高级协议 默认端 ...