ACM - 动态规划 - P1282 多米诺骨牌
多米诺骨牌由上下 \(2\) 个方块组成,每个方块中有 \(1 \sim 6\) 个点。现有排成行的上方块中点数之和记为 \(S_1\),下方块中点数之和记为 \(S_2\),它们的差为 \(\left| S_1 - S_2 \right|\)。如图,
\[S_1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 9,
S_2 = 1 + 5 + 3 + 2 = 11,
\left| S_1 - S_2 \right| = 2
\]每个多米诺骨牌可以旋转 \(180°\),使得上下两个方块互换位置。请你计算最少旋转多少次才能使多米诺骨牌上下 \(2\) 行点数之差达到最小。对于图中的例子,只要将最后一个多米诺骨牌旋转 \(180°\),即可使上下 \(2\) 行点数之差为 \(0\)。
输入格式
输入文件的第一行是一个正整数 \(n (1\leq n\leq 1000)\),表示多米诺骨牌数。接下来的 \(n\) 行表示 \(n\) 个多米诺骨牌的点数。每行有两个用空格隔开的正整数,表示多米诺骨牌上下方块中的点数 \(a\) 和 \(b\),且 \(1\leq a,b\leq 6\)。
输出格式
输出文件仅一行,包含一个整数。表示求得的最小旋转次数。
输入输出样例
输入:
4
6 1
1 5
1 3
1 2
输出:
1
题解
可以考虑用动态规划。该问题要求解的状态为,多米诺骨牌上下两行点数之差最小同时旋转次数最少。
使用二维 \(dp\) 数组记录上下点数之差和旋转次数。由于对一堆骨牌的旋转操作不会改变这堆骨牌的点数之和,如果记录了上点数,下点数就为总点数 \(-\) 上点数(总点数在输入时预处理即可得到)。此时我们可以具体地说,\(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个骨牌,上一行点数之和为 \(j\) 时的最小旋转次数。
状态转移方程
\(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个骨牌,上一行点数之和为 \(j\) 时的最小旋转次数。
对于第 \(i\) 个骨牌,它可以选择“旋转”或是“不旋转”。如果“不旋转”,则此时的最小旋转次数需由 \(dp[i - 1][j - a[i]]\)确定,即前 \(i - 1\) 个骨牌,上一行点数之和为 \(j - a[i]\) 时的最小旋转次数决定;如果“旋转”,则此时的最小旋转次数需由 \(dp[i - 1][j - b[i]]\)确定,即前 \(i - 1\) 个骨牌,上一行点数之和为 \(j - b[i]\) 时的最小旋转次数决定。
可以写出如下状态转移方程:
\min (dp[i - 1][j - a[i]], dp[i - 1][j - b[i]] + 1)
\]
状态搜索方向
初始化二维 \(dp\) 数组的第一行,然后递增行数,对每一行从左至右搜索。
初始值所有的 \(dp[i][j]\) 为 \(\inf\),\(dp[1][b[1]] = 1\),\(dp[1][a[1]] = 0\)(注意初始化顺序不能交换,想想为什么??)。
考虑我们的状态搜索方向,在更新 \(dp[i][j]\) 的值时,\(i - 1\)是完全正确的,但 \(j\)、\(a[i]\)、\(b[i]\)会出现三种情况。
- \(j\) 大于等于这两者;
- \(j\) 只大于等于其中一个,而小于另一个;
- \(j\) 小于这两者;
此时如果 \(j < a[i]\),则 \(dp[i][j]\) 不能由状态 \(dp[i - 1][j - a[i]]\)(该状态此时不存在)确定,如果 \(j < b[i]\),则 \(dp[i][j]\) 不能由状态 \(dp[i - 1][j - b[i]]\)(该状态不存在)确定,不难想象,若 \(j < a[i]\) 且 \(j < b[i]\),则 \(dp[i][j]\) 为 \(\inf\)(用有限状态机的观点来考虑,可以认为该状态不可达)。
否则,\(dp[i][j]\) 由且只由 \(dp[i - 1][j - a[i]]\) 和 \(dp[i - 1][j - b[i]]\) 这两个状态中那些存在中的状态确定。如果存在中的所有状态(最多两个)最小旋转次数的值都为 \(\inf\),则转移方程确定 \(dp[i][j]\) 为 \(\inf\)(即该状态不可达),而事实上,由二维 \(dp\) 数组的含义来看 \(dp[i][j]\) 也确实应该不可达;如果其中一个存在状态的值不为 \(\inf\),则 \(dp[i][j]\) 一定被更新为一个有限数(更新规则由转移方程确定)。
为了编写程序,可将状态转移方程写成以下等价形式:
\left\{
\begin{aligned}
& \min (dp[i][j], dp[i - 1][j - a[i]]), & if (j >= a[i]) \\
& \min (dp[i][j], dp[i - 1][j - b[i]] + 1), & if (j >= b[i])
\end{aligned}
\right.
\]
易证两个状态转移方程的等价性(程序第一次更新 \(dp[i][j]\) 时,该值一定为 \(\inf\))。
程序:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000;
const int INF = 1e8;
int a[N + 10], b[N + 10], dp[N + 10][6 * N + 10];
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int s = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
s += a[i] + b[i];
}
// 状态矩阵初始化
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= 6 * n; j++) dp[i][j] = INF;
dp[1][b[1]] = 1; dp[1][a[1]] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= 6 * n; j++) {
// 状态转移方程
if (j - a[i] >= 0) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - a[i]]);
if (j - b[i] >= 0) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - b[i]] + 1);
}
}
int minD = INF, minT = INF; //minD是最小差值,minT是最小交换次数
for (int i = 0; i <= s; i++) {
if (dp[n][i] != INF) {
if (abs(i - (s - i)) < minD) {
minD = abs(i - (s - i)); minT = dp[n][i];
}
else if (abs(i - (s - i)) == minD) minT = min(minT, dp[n][i]);
}
}
printf("%d", minT);
return 0;
}
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