最短路算法(一)

最短路算法有三种形态:Floyd算法,Shortset Path Fast Algorithm(SPFA)算法,Dijkstra算法。

我个人打算分三次把这三个算法介绍完。

(毕竟写太长了又没有人看QAQ……)但是这篇博客好像又双叒叕写的有点长,真的请各位耐心看完QAQ

今天先来介绍最简单的Floyd算法。

Part 1:最短路问题是什么?

我们用专业一点的术语表达,大概是这样子的:

若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等),则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。

——摘自百度百科

但是完全不用关那些个专业的东西,我们通过字面意思大概就能Get到——求出某个点走到某个点之间的权值之和最小。

比如我们有一张图:

比如我们要求出从点1到点5的最短路就是这样的

点1->点2(走了4),点2->点5(走了1),这样点1到点5的最短距离就是5,(因为找不到比5更短的路可以从点1到点5)最短路就是1->4->5。

Part 2:Floyd算法思路

在介绍Floyd算法之前,我们先思考这样一个问题:

有一张图,我们要求出最短路。怎么做?

我们可以间接的把它看成一个DP来搞,那么状态就是这样的:

我们枚举点k,i,j,并假设i是起始点。

如果i->j的当前最短路长度 > i->k的最短路长度+k->j的最短路长度,我们就更新i->j的最短路长度是i->k+k->j。

什么意思呢?仔细思考一下,得出如下结果:

我们如果从某点直接到x点比先到y点再到x点的路径之和还要长的话,当然就要更新“某点”到x点的最短距离啦!

对于这个思想,科学家已经给出了证明,我这里不再赘述。

(以下是证明过程,反正我是看不懂,但是NOI又不考算法为什么对,其实我们只要知道算法的正确性和怎么应用就好了,至于证明,那是数学家的事情)

Part 3:Floyd算法的各项性能数据、适用范围、初始化注意事项

我们知道了Floyd算法的大致框架了,在康代码之前,还有一个不能忽略的问题:它的适用范围是什么。

(毕竟最短路有三种算法,算法竞赛的时候不一定考哪种,万一用错了算法……)

适用范围:存在负权边但是没有负权回路的有向图、无向图。(所有算法都不能解决负权回路,因为那样根本不存在最短路)

时间复杂度O(n^3)时间复杂度要特别注意,当有500个点的时候就已经很危险了。

空间复杂度O(n^2)邻接矩阵限制了空间复杂度不能再优化了。

结果调用方法:存在邻接矩阵里,其中f[i][j]表示i->j的最短路长度。

算法主体代码长度(不包括初始化等等):150B。

整个求最短路代码长度:约600B(已经是最短路算法中最短的了)。

初始化注意事项:先把邻接矩阵初始化为0x3f,然后把所有f[i][i]初始化为0。

Part 4:Floyd算法结构框架

具体思路和注意事项我上面已经讲得很清楚了,我这里直接上模板代码。

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define N 1010
void floyd()
{
for(int k=;k<=n;k++)//枚举中间点k(一定一定是在最外层循环!)
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=i;j++)
dist[i][j]=max(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
//如果更优,更新最优解
}
int main()
{
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));//memset初始化
scanf("%d%d",&n,&m);//n点m边图
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
dist[x][y]=z;
dist[y][x]=z;//初始化无向图邻接矩阵
}
for(int i=;i<=n;i++)
dist[i][i]=;//对角线重新赋值为0
floyd();//调用Floyd解决最短路问题
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=n;j++)
{
printf("%d ",dist[i][j]);//输出所有i->j的最短路径
}
printf("\n");
}
return ;
}

Part 5:Floyd算法在实际问题中的应用

我在某洛谷上找到了这样两个题,很适合初学最短路算法的选手:

https://www.luogu.com.cn/problem/P2910

https://www.luogu.com.cn/problem/P1828

值得注意的是:这两个题目不一定要用Floyd算法来解决,但是我们今天拿这两个题简单说说Floyd的实现注意事项。

首先看第一个题:洛谷P2910

虽然有超链接,我还是把题目的图贴上来吧。

这个题目没有直白的说“求最短路”(可能是板子题最后的尊严)但是明眼人都看出来了,出题人把权值抽象成了“危险程度”,规定了几个节点是必须访问的,求从出发点经过这些必须访问的节点的最短路径长度。

读懂了题意之后,思考这样一个问题:我们要用什么算法做这个题(这很重要!再次重申,最短路算法有三个,我们要选出最能对付这个题,在AC的前提下找出写起来最简单的算法)

首先看空间复杂度:点的个数N<=100也就是说,满足邻接矩阵的空间复杂度和时间复杂度。

必须到达的点有M<=10000个,也就是说,我们要求10000次单源最短路,Floyd算法可以一次性求出一张图内任意两点间的最短路。

综上所述,这个题满足使用Floyd算法的要求,并且我们说过,Floyd算法是最好写的单源最短路算法(没有之一!!!)

具体思路简单BB一下,我们求出最短路之后,用存下“必须经过的点”的数组,把相邻元素的最短路一次次累加,最后就可以得到最终答案。

上AC代码:

//#include<guxinlin&sutang>
//GXL AK IOI
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define N 110
#define M 10010
#define sutang 0
using namespace std;
int v[N][N],vis[M],dis[N][N],n,m,ans;
void floyd()
{
for(int k=;k<=n;k++)
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
for(int i=;i<=m;i++)
scanf("%d",&vis[i]);
for(int i=;i<=n;i++)
{
dis[i][i]=;
for(int j=;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&v[i][j]);
dis[i][j]=v[i][j];
}
}
floyd();
for(int i=;i<=m;i++)
ans+=dis[vis[i-]][vis[i]];
printf("%d",ans);
return sutang;
}

下一个题目,洛谷P1828

先上题目截图:

一眼看过去,节点数P<=800,800^3=512000000(5亿一千二百万)这个复杂度已经很危险了,但是为什么我们用Floyd算法AC掉了这个题呢?

下面是重点部分了,另外,上面的题的正解是n次堆优化dijkstra算法或者n次SPFA算法。

Floyd灵魂剪枝算法

其实这个题我本来没有用Floyd算法做,(我是用的SPFA通过的评测)但是我看到题解去的大神们写了这样一篇题解,提到了Floyd灵魂剪枝。

我觉得是很有用的一个小技巧,而且实现起来非常简单。于是我就把这个小技巧分享给大家。

具体思路是:如果给出的图是无向边,我们用邻接矩阵存图的时候是把无向边当成两条相反、长度相等的有向边来存的,这就导致我们循环枚举的的时候,更新了两次这个无向边,浪费了宝贵的时间。所以当图是无向图的时候,我们只需要枚举一半的边,更新的时候一下子更新两条边的最短距离,就可以优化一半的复杂度。(但是这个复杂度还是很高,只是一个小技巧,不是大优化)

说完了剪枝策略,我们来说说这个题的具体思路:

首先,每个节点可能有多个牛,我们就需要把第i头牛在第j个牧场记下来。

其次,我们需要找出一个点,使其到这些有奶牛的点距离之和最小,确认是最短路算法。我们不知道哪个点距离和最小,所以我们需要把所有点到所有点的单源最短路求出来,然后枚举每一个点的距离之和,找出最小值。找出所有点的单源最短路,Floyd算法可以做到。加上我们的剪枝策略,再加上O2优化,Floyd算法可以在1000ms内给出结果。

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define IAKIOI 0
#define N 1010
using namespace std;
int cow[N],dist[N][N],n,m,q,ans=;
void floyd()
{
for(int k=;k<=n;k++)
{
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=i;j++)//枚举一半,剩下的手动更新
{
if(dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j])
{
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
dist[j][i]=dist[i][j];//手动更新另一条边
}
}
}
}
}
int main()
{
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));//初始化
scanf("%d%d%d",&q,&n,&m);
for(int i=;i<=q;i++)//记录第i头牛所在牧场是cow[i]
scanf("%d",&cow[i]);
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
dist[x][y]=z;//数据里没有重边,所以不用特判(其实是我忘了
dist[y][x]=z;
}
for(int i=;i<=n;i++)//初始化
dist[i][i]=;
floyd();//调用Floyd解决问题
for(int i=;i<=n;i++)
{
int qaq=;
for(int j=;j<=q;j++)//枚举第i个点的
{
qaq+=dist[i][cow[j]];//累加第i个点的总路程
}
ans=min(ans,qaq);//如果比最优答案还优,更新他
}
printf("%d",ans);//输出答案
return IAKIOI;
}

好了今天的最短路学习分享就到这里,喜欢的记得三连QAQ(卑微博主求关注)

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