传送门:

https://www.luogu.com.cn/problem/P3046

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/6306/G

题意

给定n个不同的点,求这个点集有多少条对称轴

题解

对于一个点只有两种情况,一种是和另一个点关于这条线对称,一种是在对称轴上。

第一种情况:随机选择一个点p,枚举其他的点和他形成的对称轴,然后再判断这个对称轴是不是点集的对称轴。

第二种情况:当点在对称轴上时,要么另一个点 q 也在对称轴上,两点所在的直线是对称轴,这种情况直接判断这个对称轴是不是点集的对称轴。要么另一个点 q 关于这个点 p 所在的直线有对称点,这个时候按照第一种情况随机点为 q ,枚举其他点和他形成的对称轴,但是这个对称轴要经过点 p 。

想法很好理解,但是实现很难,在洛谷看到了一个题解,代码比较容易理解。

https://www.luogu.com.cn/blog/jzzcjb/dui-cheng-xing-symmetry-ti-xie

用到的数学结论

两点(x1,y1)(x2,y2)求过两点直线Ax+By+C=0
A=y2-y1 B=x1-x2 C=x2*y1-x1*y2 两点(x1,y1)(x2,y2)求两点间的对称轴Ax+By+C=0
A=x1-x2 B=y1-y2 C=-((x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2))/2 求(x',y')关于直线 Ax+By+C=0 的对称点(x0,y0)
设 k=-2*(A*x'+B*y'+C)/(A*A+B*B);
x0=x'+k*A;
y0=y'+k*B;

代码

优化了一下这个题解的代码,可以直接用set来记录一对点是否存在

 1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define eps 1e-6
3 using namespace std;
4
5 int n,cnt,x[100100],y[100100];
6 set<pair<int,int> >s;
7
8 bool dy(double x,double y){return ((x-y<=eps)||(y-x<=eps));}
9
10 bool is(double A,double B,double C){//判断某条直线是否是对称轴
11 for(int i=1;i<=n;i++){
12 /*
13 求(x',y')关于直线 Ax+By+C=0 的对称点(x0,y0)
14 设 k=-2*(A*x'+B*y'+C)/(A*A+B*B);
15 x0=x'+k*A;
16 y0=y'+k*B;
17 */
18 double k=-2*(double)(A*x[i]+B*y[i]+C)/(A*A+B*B);
19 double xo=x[i]+k*A;int xx=round(xo);
20 double yo=y[i]+k*B;int yy=round(yo);
21 if(!s.count({xx,yy})) return 0;
22 }
23 return 1;
24 }
25
26 bool check(int a,int b){ //以两点为一对对称点
27 //A=x1-x2 B=y1-y2 C=-((x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2))/2
28 double A=x[a]-x[b];
29 double B=y[a]-y[b];
30 double C=(double)-((x[a]*x[a]-x[b]*x[b])+(y[a]*y[a]-y[b]*y[b]))/2;
31 if(a!=1&&A*x[1]+B*y[1]+C!=0) return 0;
32 return is(A,B,C);
33 }
34
35 bool ok(int a,int b){ //以两点所在直线为对称轴
36 //A=y2-y1 B=x1-x2 C=x2*y1-x1*y2
37 int A=y[b]-y[a];
38 int B=x[a]-x[b];
39 int C=x[b]*y[a]-x[a]*y[b];
40 return is(A,B,C);
41 }
42
43 int main()
44 {
45 cin>>n;
46 for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i]>>y[i],s.insert({x[i],y[i]});
47 for(int i=2;i<=n;i++) cnt+=check(1,i);
48 for(int i=2;i<n;i++) cnt+=check(i,n);
49 cout<<cnt+ok(1,n);
50 }

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