P6739 [BalticOI 2014 Day1] Three Friends 题解

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• 写在前面
• Solution
  • 何为字符串哈希（可跳过）：
• Code

写在前面

P6739 [BalticOI 2014 Day1] Three Friends

听说这题可以用比较暴力的做法过，比如 \(string\) 里面自带的 \(substr\) ，可以看这位大佬的提交记录

模数不要用 \(49999\) ，会被卡， \(1e9+9\) 才是真爱

Solution

何为字符串哈希（可跳过）：

由于字符串是具有前后关系的，可以按下述方法构造：

选取两个合适的互质常数 \(b\) 和 \(h (b < h)\)， 假设有一个字符串 \(C = c_1c_2···c_m\)，那么我们定义哈希函数：

\[H(C) = (c_1b^{m - 1} + c_2b^{m - 2} + ···+c_mb^{0}) \mod h
\]

考虑递推实现，设 \(H(C, k)\) 为前 \(k\) 个字符构成的字符串的哈希值，则：

\[H(C, k + 1) = H(C, k) \times b + c_{k + 1}
\]

通常，题目要求的是判断主串的一段字符与另一个匹配串是否匹配，即判断字符串 \(C = c_1c_2···c_m\) 从位置 \(k + 1\) 开始的长度为 \(n\) 的子串 \(C^{'} = c_{k + 1}c_{k + 2}···c_{k + n}\) 的哈希值与另一匹配串 \(S = s_1s_2···s_n\) 的哈希值是否相等，则：

\[H(C_{'}) = H(C, k + n) - H(C, k) \times b^{n}
\]

只要预求得 \(b^{n}\) ，就能 \(O(1)\) 判断了

可以预处理出所有 \(b^{n}\) 存在 \(Pow\) 数组里

---

观察目标串 \(U\) 的构造方式，发现如果 \(N\) 是偶数，一定无法构造

然后考虑枚举删除每一个字符，再将剩下的字符串均分判断哈希值是否相等

假设删去的字符在前半段，那么后半段的一定是原字符串 \(S\)，如果在后半段，那么前半段一定是原字符串 \(S\) ，

所以可以分开枚举，并且预处理出对应的原字符串

那么删掉一个字符后，剩下的两段怎么合并呢？以样例字符串为例：

\[ABXCABC
\]

假设枚举到 \(X\)

那么原字符串为 \(ABC\)，前面要合并的两段字符串是 \(AB\)，\(C\)

如果朴素计算这两个串的哈希值及原字符串哈希值，计算过程如下：

\[AB = A * b^{1} + B * b^{0}
\]

\[C = C * b^{0}
\]

\[ABC = A * b^{2} + B * b^{1} + C * b^{0}
\]

所以不难看出 \(ABC = AB * b^{1} + C\)

对这个结论进行推广，对于字符串 \(X\)，删掉其中一个字符后，分成两个字符串\(X_1,X_2\)，有

\[X = X_1 * b^{len_{X_2}} + X_2
\]

根据这个公式去进行合并，然后比较两个字符串哈希值是否相同

然后这就可以了吗？ 不不不

看这个样例

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AABCABCABCABC

我们会发现删掉第一个和第二个字符都可以，但得到的原串都是 \(ABCABC\)

所以注意开个map判重即可

如果还A不了，兄弟，改个模数试试吧

Code

/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl

using namespace std;
const int MAXN = 2e6+10;
const int INF = 1;
const int mod = 1e9+9;
const int b = 7;

int len, cnt = 0;
char s[MAXN];
LL Pow[MAXN], Pow2, sum, H[MAXN], wz;
map<LL, LL> Map;

int read(){
	int s = 0, f = 0;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch))  f |= (ch == '-'), ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
	return f ? -s : s;
}

int main()
{
	len = read();
	if(len % 2 == 0) {
		printf("NOT POSSIBLE");
		return 0;
	}
	cin>>(s + 1);
//	for(int i = 1; i <= len; ++i) {
//		cout<<s[i]<<" ";
//	}
//	cout<<"\n";
	Pow[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= len; ++i){
		Pow[i] = Pow[i - 1] * b % mod;
		H[i] = (H[i - 1] * b % mod + s[i]) % mod;
	}
	sum = (H[len] - H[len / 2 + 1] * Pow[len / 2] % mod + mod) % mod; //后半段的哈希值
	for(int i = 1; i <= len / 2 + 1; ++i){
		LL pre = H[i - 1] * Pow[len / 2 + 1 - i] % mod;//删掉枚举字符后的剩余字符串的哈希值
		if(Map[sum] == 0 && sum == (H[len / 2 + 1] - H[i] * Pow[len / 2 + 1 - i] % mod + pre + mod) % mod){//算出后面那一段并进行拼接
			cnt++;
			Map[sum]++;
			wz = i;
		}
	}
//	cout<<cnt<<"lkp\n";
	sum = H[len / 2];//前半段的哈希值
	for(int i = len / 2 + 2; i <= len; ++i){
		LL pre = (H[i - 1] - H[len / 2] * Pow[i - len / 2 - 1] % mod + mod) % mod * Pow[len - i] % mod;//删掉枚举字符后的剩余字符串的哈希值
		if(Map[sum] == 0 && sum == (H[len] - H[i] * Pow[len - i] % mod + pre + mod) % mod){//算出后面那一段并进行拼接
			cnt++;
			Map[sum]++;
			wz = i;
		}
	}
//	cout<<cnt<<"zsf\n";
	if(cnt == 0) printf("NOT POSSIBLE");
	else if(cnt == 1) {
		if(wz <= len / 2) for(int i = len / 2 + 2; i <= len; ++i) cout<<s[i];
		else for(int i = 1; i <= len / 2; ++i) cout<<s[i];
	}
	else printf("NOT UNIQUE");
	return 0;
}