Post Office IOI 2000 /// 区间DP oj24077
题目大意:
给定n个村庄的坐标,两个村庄之间的距离是其坐标之差的绝对值
最多能选m个村庄设立邮局,求设立邮局的地点使得各村庄与邮局距离总和最小
一,
所有的村庄看做在一条直线上
考虑三个因素:i 当前位于第几个村庄,j 已设立邮局的个数,s 村庄与邮局的距离总和
即dp数组为 dp[ i ][ j ] = s , 区间DP,枚举中间点村庄 k
则dp[ i ][ j ]=max{ dp[ k ][ j-1 ] + s( k+1,i ) | 0<k<i}
(1~i村庄设j个邮局) 可由 (1~k村庄设j-1个邮局)+(k+1~i村庄设1个邮局) 得到
二,
再来考虑如何处理s( k,i ),即第 k+1 到 i 村庄之间设立一个邮局的最短距离
即考虑一个区间内选取哪个点可使 其他点到该点的差值的绝对值总和 是最小的
两个点以上的情况 首先可以排除首端和尾端的两个点
奇数个点的情况:
设a<b<c<d<e
1.选取b时
a b c d e
---
---
-------
----------
2.选取c时
a b c d e
------
---
---
------
可看出选取中间点更优
偶数个点的情况:
设a<b<c<d<e<f
1.选取c时
a b c d e f
------
---
---
------
----------
2.选取d时
a b c d e f
---------
------
---
---
------
可看出选取居中的两个点得到的结果是一样的
那么举个例子: s( a,d )=s( a,c )+d到邮局的距离,邮局最佳设立位置为(a+d)/2
就可得到 s( a,d )=s( a,c )+a[ d ]-a[ (a+d)/2 ]
则设数组s[][]保存 两点间设立一个邮局时 区间内村庄与邮局间距离总和的最小值
且 s[ i ][ j ]=s[ i ][ j-1 ] + a[ j ] - a[ (i+j)/2 ]
三,
邮局地点的记录(类似最长上升子序列的路径记录)
利用dp[i][j]的更新过程,枚举中间点k时,若其能更新当前的dp[i][j],
说明 1~i 被分为两个区间 1~k 和 k+1~i,则区间 k+1~i 的邮局设立点为 (i+k+1)/2
那么记录此时前驱为 k,即 pre[i][j]=k,即记录了上一个区间的末尾
则当dp[][]更新结束后,dp[n][m]是1~n村庄设立m个邮局的距离总和最小值
pre[n][m]中记录的是倒数第二个区间的末尾k1,邮局设立点为(n+k1+1)/2
则pre[k1][m-1]中则记录着倒数第三个区间的末尾k2,邮局设立点为(k1+k2+1)/2
则pre[k2][m-2]中则记录着倒数第四个区间的末尾k3 ,......
这样逆推下去 就可以当推到0时 代表已经过了第一个区间
#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std; int n,m,a[];
int s[][]; // s[i][j] 在i到j之间设一个邮局的最小距离
int dp[][]; // dp[i][j] 前i个村落设j个邮局的最小花费
int pre[][],ans[]; int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { memset(s,,sizeof(s));
memset(dp,INF,sizeof(dp));
memset(pre,,sizeof(pre)); for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=;i<=n;i++) {
for(int j=i+;j<=n;j++)
s[i][j]=s[i][j-]+a[j]-a[(i+j)/];
dp[i][]=s[][i]; // 顺带更新一下1~i设1个邮局的dp[][]
} for(int i=;i<=n;i++) // 枚举末尾
for(int j=;j<=i && j<=m;j++) // 枚举邮局个数
for(int k=j-;k<i;k++) // 枚举 1~i 的中间点
if(dp[k][j-]+s[k+][i]<dp[i][j])
dp[i][j]=dp[k][j-]+s[k+][i], pre[i][j]=k; int x=n,y=m,ind=;
while(x>&&y>) { /// 逆推并将邮局设立位置逆序存入ans[]
ans[ind++]=a[(x+pre[x][y]+)/];
x=pre[x][y--];
} printf("%d\n",dp[n][m]);
while(ind>) { // 从最后一个输出 才是正序
printf("%d ",ans[--ind]);
} printf("\n");
} return ;
}
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