LOJ#508. 「LibreOJ NOI Round #1」失控的未来交通工具

题意

一个带边权无向图，有两种操作：加边以及询问在\(x,x+b,...,x+(c-1)b\)这些数中，有多少个数存在至少一条与之模\(m\)同余的从\(u\)到\(v\)的路径（可以不是简单路径）。

做法

• 奇数
  考虑某一边\((u,v,w)\in E\)，从\(u\)到\(v\)，通过来回绕圈的方式，能形成\(2k+1\)的关于\(w\)系数，将其放在模意义考虑，通过调整\(m\)的系数，能产生\(w\)的任意整数系数；
  故能贡献\((w,m)\)任意倍系数；
  整个\(E\)能构成的贡献就为\((w_1,w_2,...,w_{|E|},n)\)的任意倍数；

• 任意数
  考虑一个环（简单环和复杂度均可），其可以被单独走任意倍数，只需起点走\(m\)倍即可把除环之外的边消掉
  设\(g\)为所有环的\(gcd\)（包括\(m\)）
  而此时再选择任意一条路径都可以，因为其他路径可以靠\(g\)补上去