前缀和&差分
一:差分数组概念
1.定义:
对于已知有n个元素的数列d,建立记录它每项与前一项差值的差分数组f:显然,f[1]=d[1]-0=d[1];对于整数i∈[2,n],我们让f[i]=d[i]-d[i-1]。//f[i]数组为差分数组,d[i]数组为原数组
2.简单性质:
(1)计算数列各项的值:观察d[2]=f[1]+f[2]=d[1]+d[2]-d[1]=d[2]可知,d[i]=f[i]的前缀和。
(2)计算数列每一项的前缀和:第i项的前缀和即为数列前i项的和,那么推导可知
//此处求的是d[i]数组的前缀和呼应3.(2)
即可用差分数组求出数列前缀和;
3.用途:
(1)快速处理区间加减操作:
对数列区间[L,R]中的每个数加上x,我们通过性质(1)知道,第一个受影响的差分数组中的元素为f[L],即令f[L]+=x,那么后面数列元素在计算过程中都会加上x;
最后一个受影响的差分数组中的元素为f[R],所以令f[R+1]-=x,即可保证不会影响到R以后数列元素的计算。
这样我们不必对区间内每一个数进行处理,只需处理两个差分后的数即可;
(2)询问区间和问题:
由性质(2)我们可以计算出数列各项的前缀和数组sum各项的值;那么显然,区间[L,R]的和即为ans=sum[R]-sum[L-1];
二:差分&前缀和模板题
#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll maxn=;
ll p[maxn],a[maxn],b[maxn],c[maxn],ans[maxn];
int main()
{
ios_base::sync_with_stdio();
cin.tie();
cout.tie();
ll n,m;
cin>>n>>m;
for(ll i=;i<=m;++i)
cin>>p[i];
for(ll i=;i<n;++i)
cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
for(ll i=;i<m;++i)
{
if(p[i]>p[i+])
ans[p[i+]]++,ans[p[i]]--;
else ans[p[i]]++,ans[p[i+]]--;
}
for(ll i=;i<=n;++i)
ans[i]+=ans[i-];
ll sum=;
for(ll i=;i<n;++i)
sum+=min(a[i]*ans[i],c[i]+b[i]*ans[i]);
cout<<sum<<endl;
return ;
}
差分与前缀和互逆,求完差分后可以求前缀和得到修改后的数据
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