题解-ZeroJudge-c686 高斯符號

Problem

ZeroJudge

Solution

考慮到\(\lfloor \frac {km}n\rfloor\)等同於\(km\)整除\(n\)，換種表示方法就是\(km\)減去\(km\)模\(n\)的餘數，再除以\(n\)

那麼原式等價於：

\[\sum_{k=1}^n\frac {km-(km \bmod n)}n\]

這時那根分數線代表的除法是沒有餘數的除法，不受到餘數的幹擾，所以我們將其提出來：

\[\frac {\sum_{k=1}^nkm-(km\bmod n)}n\]

我們再將sigma裏面的東西拆開，得到：

\[\frac {m\sum_{k=1}^nk}n-\frac {\sum_{k=1}^n(km\bmod n)}n\]

左邊的式子我們可以用等比數列求和公式求得\(\frac {m\sum_{k=1}^nk}n=\frac {m(n+1)}2\)

接下來我們考慮右邊的式子，由於求餘操作在求和的裏面，所以不能先求和再整體取餘（前者結果可能大於等於n，後者結果嚴格小於n）

但是我們發現\(k\)的上線是\(n\)，正好是我們的模數，即當\(k=n\)時，\(km\bmod n=0\)；再考慮到當\(k=0\)時，\(km\bmod n=0\)；即\(km\bmod n\)的循環節一定是\(n\)的約數，再根據裴蜀定理，\(km\)在模\(n\)意義下關於\(k\)的循環節爲\(n\)和\(m\)的最大公約數，我們設爲\(d\)（即\(k\)加上\(d\)的倍數，相應的\(km\bmod n\)的值仍然相等）

在上面的條件下，我們發現\(km\bmod n\)的取值集合爲\(\{td|t\in [0,\frac nd)\}\)，而且在一個循環節下集合內的每個數都會取到一次

考慮到循環節長度爲\(\frac nd\)，而且\(d\)一定爲\(n\)的約數，所以\(k\)取\(1\)到\(n\)，可以得到\(d\)個循環節

所以我們只要將一個循環節內的所有數加起來，乘以\(d\)即爲右邊式子的答案，集合內元素和用求和公式，爲\(\frac {(0+n-d)\frac nd}2\)，再乘以循環節數量\(d\)，除以原來就要除的\(n\)，得到\(\frac {n-d}2\)

結合左邊和右邊的式子，最終答案爲\(\frac {m(n+1)}2-\frac {n-d}2=\frac {nm+m-n+d}2\)

式子都這麼短了，代碼就不貼了啦