【洛谷P2127】序列排序

题目大意：给定一个长度为 N 的序列，序列中的数两两不相同，每次可以交换序列中任意两个数，代价为这两个数的和，问将序列调整为升序，最少的代价是多少。

题解：考虑这个问题的一个子问题，这个序列为 N 的一个排列的时候，代价是多少。首先，对于许多交换操作来说，并不是所有操作都是有意义的。可以发现，序列可以被分成若干互不相交的环，在同一个环上的值进行交换才更有意义。第一种策略是对于同一个环上的点来说，可以用环上值最小的点来把其他点交换到对应的位置，这样的代价为\(\sum\limits_{i\in S}a[i]+(size[S]-2)*min\{a[i],i\in S\}\)。还有一种策略是，可以交换环上最小的点和全局最小的点，用全局最小的点来将其他点复位，最后再交换回环上点和全局最小点，这样的代价为 \(\sum\limits_{i\in S}a[i]-a_{min}+(n-1)*mi+2(mi+a_{min})\)。在这两个代价中取最小值即可。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define cls(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int dx[]={0,1,0,-1};
const int dy[]={1,0,-1,0};
const int mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+10;
const double eps=1e-6;
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline ll sqr(ll x){return x*x;}
inline ll fpow(ll a,ll b,ll c){ll ret=1%c;for(;b;b>>=1,a=a*a%c)if(b&1)ret=ret*a%c;return ret;}
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(!isdigit(ch));
    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(isdigit(ch));
    return f*x;
}
/*------------------------------------------------------------*/

int n;
bool vis[maxn];
ll ans,mi,a[maxn],d[maxn];

void read_and_parse(){
    n=read(),mi=inf;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=d[i]=read(),mi=min(mi,a[i]);
    sort(d+1,d+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(d+1,d+n+1,a[i])-d;
}
void dfs(int idx,ll ret,ll mi_now,ll size){
    if(vis[idx]){
        --size;
        ll res1=ret+(size-2)*mi_now;
        ll res2=ret+mi_now+(size+1)*mi;
        ans+=min(res1,res2);
        return;
    }
    vis[idx]=1;
    ret+=d[a[idx]],mi_now=min(mi_now,d[a[idx]]);
    dfs(a[idx],ret,mi_now,size+1);
}
void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(vis[i])continue;
        dfs(i,0,inf,1);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
    read_and_parse();
    solve();
    return 0;
}