二叉查找树(BSTree)中进行查找、插入和删除操作的时间复杂度都是O(h),其中h为树的高度。
BST的高度直接影响到操作实现的性能,最坏情况下,二叉查找树会退化成一个单链表,比如插入的节点序列本身就有序,这时候性能会下降到O(n)。
可见在树的规模固定的前提下,BST的高度越低越好。

1.平衡二叉树

平衡二叉树是计算机科学中的一类改进的二叉查找树。
平衡二叉树具有以下性质:

(1)一棵空树是平衡二叉树

(2)如果树不为空,它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡二叉树要求对于每一个节点来说,它的左右子树的高度之差不能超过1,如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1,就要进行节点之间的旋转,将二叉树重新维持在一个平衡状态。
这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题,把插入,查找,删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)

一棵好的平衡二叉树的特征:
(1)保证有n个结点的树的高度为O(logn)
(2)容易维护,也就是说,在做数据项的插入或删除操作时,为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)

平衡二叉树的常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树等。

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树,所以一般提到平衡二叉树一般就指AVL树,区别于红黑树、伸展树等。

AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis,他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

2.AVL树如何保持平衡

平衡二叉树的关键在平衡,那么它的平衡是如何保持的呢?
Adelson-Velskii 和 Landis 提出了一个动态地保持二叉排序树平衡的方法,其基本思想是:在构造二叉排序树的过程中,每当插入一个结点时,首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性,如果是因插入结点而破坏了树的平衡性,则找出其中最小不平衡子树,在保持排序树特性的前提下,调整最小不平衡子树中各结点之间的连接关系,以达到新的平衡。通常将这样得到的平衡二叉排序树简称为 AVL 树。
现在我们定义平衡因子和最小不平衡子树的概念。
(1)平衡因子
在二叉树中,任何一个节点v的平衡因子都定义为其左、右子树的高度差。空树的高度定义为-1。
在二叉查找树T中,若所有节点的平衡因子的绝对值均不超过1,则称T为一棵AVL树。
(2)最小不平衡子树
最小不平衡子树以离插入结点最近、且平衡因子绝对值大于 1 的结点作根结点的子树。

3.旋转操作

旋转操作是一种调整树结构而不改变二叉查找树特性的手段。
这里要理解树旋转的意义,树的最终目的不是维护节点与节点之间的层级关系,关键是如何用AVL树这种数据结构进行更好的查找和搜索。


(1)右旋(顺时针方向旋转)
(2)左旋(逆时针方向旋转)

4.针对四种不平衡类型的调整

为了简化讨论,不妨假设二叉排序树的最小不平衡子树的根结点为 A ,则调整该子树的规律可归纳为下列四种情况:
(1)LL 型:

LL情况需要右旋解决,如图所示:

(2)RR 型:

RR情况需要左旋解决,如图所示:

(3)LR 型:

LR情况需要左右(先B左旋转,后A右旋转)旋解决,如图所示:

(4)RL 型:

RL情况需要右左旋解决(先B右旋转,后A左旋转),如图所示:

5.代码实现

AVL树是一棵二叉查找树,与普通二叉查找树不同的是,在插入和删除节点之后需要重新进行平衡,因此继承并重写普通二叉查找树的insert和delete方法,就可以实现一棵AVL树。

待续。

  

 

《算法导论》

《数据结构与算法分析—Java语言实现》

AVL树(一)之 图文解析 和 C语言的实现

数据结构之AVL树

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