HM必修1

高中数学必修一 笔记与拓展

1. 集合与函数概念

集合概念

集合是一个基本的数学概念.
集合是由集合的元素构成的.
当且仅当两个集合中包含着完全相同的元素且都不包含其它元素时两个集合相等.
集合是确定的,也就是说,一个集合不能包含他自己,这样它本身就不确定了.
集合中的元素是互异的.

集合表示

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列举法

列举法就是把集合中的元素都列举出来.\[ A=\{ E_0,E_1,\dots \} \]

描述法

描述法就是描述集合中有的元素的特征.\[ A=\{ x \mid P(x) \} \]
其中$P(x)$是一个关于x的命题.

集合符号1 关系

集合元素 $a\in A$
非集合元素 $a\not\in A$
子集 $a\subseteq A$
真子集 $a\subset A$ 或 $a\subsetneq A$ 或 $a\subsetneqq A$(教科书)

集合性质

大小 $|A|$或$card(A)$
幂集 $2^A$即A子集的集合
幂集大小 $|2^A|=2^{|A|}$

集合符号2 运算

并集A|B $A\cup B=\{x\mid x\in A \vee x\in B\}$
交集A&B $A\cap B=\{x\mid x\in A \wedge x\in B\}$
绝对补集-B on U $\complement_UB=\{x\mid x\in U \wedge \neg (x\in B)\}$,要求$B\subseteq U$
相对补集(差集)A-B $\complement_AB=\{x\mid x\in A \wedge \neg (x\in B)\}$

集合定理1

$A|B=U\rightarrow U-B\subseteq A$

函数概念

函数是集合元素的映射.$f:A\rightarrow B$

函数表示法

解析法,图像法,列表法.

2. 函数特性

增减性

增

一个函数$f(x)$对于区间$P$为增函数要满足
\[\forall a,b\in P, \mathtt{assume }a<b, f(a)<f(b)\]

减

一个函数$f(x)$对于区间$P$为减函数要满足
\[\forall a,b\in P, \mathtt{assume }a<b, f(a)>f(b)\]

单调性

增减的合称.

和

增减 未知
增增 增
减减 减

复合函数

形如$f(g(x))$的函数.
增增 增
增减 减
减减 增

奇偶性

奇

一个函数为奇函数满足$f(x)=-f(-x)$.

偶

..$f(x)=f(-x)$.

单项式的奇偶性

假设单项式$ax^b$,$f(x)=ax^b$的奇偶性为b的奇偶性.

函数和的奇偶性

偶偶 偶
奇偶 不确定
奇奇 奇

函数积的奇偶性

偶偶 偶
奇偶 奇
奇奇 偶

基本初等函数

指数函数

基本思想

Exp: $N^+ \rightarrow N \rightarrow Z \rightarrow Q \rightarrow R (\rightarrow C)$
底大于等于0或引入复数.

性质

\[ \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}} \\ x^a\times x^b=x^{a+b} \\ \left(x^a\right)^b=x^{ab} \\ x^{a^b}=x^{(a^b)} \\ \left(\frac{1}{x}\right)^n=x^{-n}\]

图像

单调

单调.看函数图像yy.

对数函数

基本思想

指数函数的反函数.

图像

关于$y=x$与对应指数函数对称.

性质

指数函数反过来.
换底公式:
\[ \log_e{p}=\frac{\log_a{p}}{\log_a{e}} \]

幂函数

基本思想

固定指数,以底数为自变量.

图像

图像比较多样.主要以直线,抛物线,高次抛物线,双曲线等为主.

函数与方程

方程的根

求解方程的根等价于求函数的零点,也就是函数图像与x轴的交点.

二分法求根

当$f(x_1)f(x_2)<0$时方程在$\left( x_1,x_2\right)$内有根,可以使用二分法求解.

Example

求解f(x)=x^2-3在(0,+inf)的根
可得f(0)f(3)<0,得到初始区间(0,3),f(0)<0,f(3)>0
f(3/2)<0, root in (3/2,3)
f(9/4)>0, root in (3/2,9/4)
f(15/8)>0, root in (3/2,15/8)
f(27/16)<0, root in (27/16,15/8)
f(57/32)>0, root in (27/16,57/32)
f(111/64)>0, root in (27/16,111/64)
f(219/128)<0, root in (219/128,111/64)
f(441/256)<0, root in (441/256,111/64)
f(885/512)<0, root in (885/512,111/64)
f(1773/1024)<0, root in (1773/1024,111/64)
f(3549/2048)>0, root in (1773/1024,3549/2048)
f(7095/4096)>0, root in (1773/1024,7095/4096)
...

二分近似7095/4096约1.732177734375
sqrt(3)精确值约1.73205080756888
有效精度约4位

牛顿迭代法求根

当我们可以快速计算出一个函数在某一点上的导数时,我们可以使用牛顿迭代法.

Example

求解f(x)=x^2-3在(0,+inf)的根
解方程得根x=sqrt(3),取x0=2作为近似值
x1=(x0+3/x0)/2=7/4
x2=(x1+3/x1)/2=97/56
x3=(x2+3/x2)/2=18817/10864
x4=(x3+3/x3)/2=708158977/408855776
x5=(x4+3/x4)/2=1002978273411373057/579069776145402304
...

牛顿迭代近似1002978273411373057/579069776145402304 约
1.7320508075688772935274463415058723678036950907819566706013
准确值约
1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558
有效精度约36位
牛顿迭代法就是用函数切线与x轴交点进行逼近.