04_最长上升子序列问题(LIS)

来源：刘汝佳《算法竞赛入门经典--训练指南》 P60 问题6：

问题描述：给定n个整数a1,a2,...,an,按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升子序列(子序列可以理解为：删除0个或多个数，其他的数顺序不变)。比如，从序列1,6,2,3,7,5中，可以选上升子序列1,2,3,5，也可以选出1,6,7；但前者更长。选出的相邻元素不能相等。

O(n^2)的时间复杂度思路分析：设d[i]为以i结尾的最长上升子序列的长度，则d[i]=Max{0,d[j](满足j<i,aj<a[i])}+1。最终的答案为Max{d[i]}。

(若LIS中的相邻元素可以相等，把“<”改为“<=”即可)。

O(nlog(n))的时间复杂度思路分析：假设经过计算出的两个状态i和j满足ai<aj && d[i]==d[j];则只需要保存ai状态即可(对于后续状态k来说，若ak>ai,则ak一定大于aj，反之则不一定)。我们可以用g[i]表示当前状态(从第一个数开始)下子序列长度为i的最小数，则每考虑后续的数加入的时候，更新g[]即可(二分查找)。(Tips：该思路只适合求最大长度问题)

例题来源：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=17

例题：nyoj 17

单调递增最长子序列

时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：4

 

描述

求一个字符串的最长递增子序列的长度
如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4 

输入

第一行一个整数0<n<20,表示有n个字符串要处理
随后的n行，每行有一个字符串，该字符串的长度不会超过10000

输出

输出字符串的最长递增子序列的长度

样例输入

3
aaa
ababc
abklmncdefg

样例输出

1
3
7

O(n^2)时间复杂度代码：

 #include "stdio.h"
 #include "string.h"

 #define N 10100

 int d[N];
 char str[N];

 int inline Max(int a,int b) { return a>b?a:b; }

 int main()
 {
     int T;
     int i,j;
     int len;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%s",str);
         len = strlen(str);
         int ans = ;
         for(i=; i<len; ++i)
         {
             d[i] = ;
             for(j=; j<i; j++)
             {
                 if(str[i]>str[j])
                     d[i] = Max(d[i],d[j]+);
             }
             ans = ans>d[i]?ans:d[i];
         }
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }

O(nlog(n))的时间复杂度代码：

 #include "stdio.h"
 #include "string.h"
 #define N 10005
 #define INF 0x3fffffff

 int num;  //num记录当前序列中，最长子序列的长度
 int g[N]; //g[i]保存当前序列中，长度为i的上升子序列的最小字符
 char str[N];

 int er_fen(int l,int r,int k) //二分查找，返回值为数组g[]中小于k的最右边的数的下标
 {
     int mid;
     if(k>g[r]) return r;  //都比k小，返回r
     if(k<=g[l]) return ; //都比k大，返回0
     while(l+!=r)
     {
         mid = (l+r)/;
         if(g[mid] < k)
             l = mid;
         else
             r = mid;
     }
     return l;
 }

 int main()
 {
     int T;
     int i,k,len;
     scanf("%d",&T);
     getchar();
     while(T--)
     {
         scanf("%s",str);
         len = strlen(str);
         for(i=,num=; i<len; i++)
             g[i] = INF;
         num = ;
         g[] = str[];
         for(i=; i<len; i++)
         {
             k = er_fen(,num,(int)str[i]);
             if(g[k+] > str[i])
                 g[k+] = str[i];
             if(k==num)
                 num++;
         }
         printf("%d\n",num);

     }
     return ;
 }

；