初等数论-Base-2(扩展欧几里得算法，同余，线性同余方程，(附：裴蜀定理的证明))

我们接着上面的欧几里得算法说

扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式$^①$： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

①：裴蜀定理:

裴蜀定理$(Bezouts identity)$是代数几何中一个定理，其内容是若设a,b是整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd（a,b），(a,b)代表最大公因数，则设a,b是不全为零的整数，则存在整数x,y，使得ax+by=(a，b)，这里我们不做过多讨论（其实Base-2部分就有记录）。

附上美照：

“对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。”我们可以这么描述扩展欧几里得算法

证明

$gcd(a,b)=gcd(b,a\text %b),$

令$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a \space mod\space b)=c,$

而

\[bx'+(a\space mod\space b)y'=ax+by
\]

又因为$(a\space mod\space b)=a-\lfloor\frac ab\rfloor b$

得$$bx'+ay'-\lfloor\frac ab\rfloor by'=ax+by$$

于是我们可以得到递归过程中层与层之间传递的式子：

\[x=y',y=(x'-\lfloor\frac ab\rfloor y');
\]

int exgcd(int &x,int &y,int a,int b){
    if (!b) return a;
    int gcd=exgcd(x,y,b,a%b);
    int exx=y,exy=x-(a/b)*y;
    x=exx,y=exy;return gcd;
}

代码现场手敲的，可能会错qwq

用处

扩欧的用处十分广泛，一般用于求线性同余方程中，用于求逆元过程中可以做到比快速幂更快······

计算$ax+by=c$的一般解

$ax+by=c$有无穷组解，扩欧计算出来的是其中的一个，我们称之为特解$(x_0,y_0)$，通过求出的特解，我们假设按大小排序，特解$(x_0,y_0)$的下一组解为$(x_0+c,y_0+d)$，那么一定有：

$a\cdot (x_0+c)+b\cdot (y_0+d)=c$

$ac=-bd$

即$$\frac cd=-\frac ba=-\frac{\frac{b}{gcd(a,b)}}{\frac{a}{gcd(a,b)}}$$

所以有对于一般解$(x,y)$：$x=x_0+k\cdot \frac{b}{gcd(a,b)};y=y_0-k\cdot \frac{a}{gcd(a,b)} ,k\in Z$

同余

当且仅当$m|(a-b)$时，我们称$a$与$b$对模$m$同余，记作$a\equiv b(mod\space m)$ (这里总视$m>0$)

性质

①$a\equiv a(mod\space m)$

②对称性：若$a\equiv b(mod \space m),$则$ b\equiv a(mod\space m)$

③传递性：若$a\equiv b (mod \space m),b\equiv c (mod \space m)$则$a\equiv c(mod \space m)$

④同加同乘性：若$a\equiv b(mod\space m),c\equiv d (mod \space m)$则有

$a\pm c(mod\space m)\equiv b\pm d(mod \space m),$

$ac(mod\space m)\equiv bd(mod \space m)$

⑤若$n|m,a\equiv b (mod \space m)$则$a\equiv b(mod\space n)$

完全剩余系

对于一个正整数$n$，如果一个剩余系包含了它所有可能的余数（大多数来讲为$0,1,\ldots,n-1$）,那么这个剩余系被称为是模$n$的一个完全剩余系。记作$Z_n$

简化剩余系就是完全剩余系中与$n$互素的数，记作$Z^*_n$

线性同余方程

数论中，线性同余方程是最基本的同余方程，“线性”表示方程的未知数次数是一次.

即形如$ax\equiv b(mod\space n)$的方程$(n>0)$

求解$ax\equiv b(mod \space n)$

关于方程$ax\equiv b(mod\space n)$，当且仅当$gcd(a,n)|b$时有解。

（因为由方程可以得到：$ax+kn=b$,

可以将此视为另一个方程，由裴蜀定理可得，当且仅当$gcd(a,n)|b$时此方程有解）

那么对于上面的方程$ax+kn=b,

$令$d=gcd(a,n)$，则有$d|b$

又因为$d|a,d|n$，令$a_0=\frac ad,n_0=\frac nd$

有方程$a_0x+n_0k=\frac bd$

因为$gcd(a_0,n_0)=1$，这个方程就可以由扩展欧几里得算法来求得

练习:青蛙的约会

题外话：裴蜀定理的证明

设$d=gcd(a,b)$，

则有$d|a,d|b$，易得$d|(ax+by)$，

故$\forall x,y\in Z,$有$d|(ax+by)$，

则设$s=(ax+by)$，使$s$为满足$d|(ax+by)$的最小正值，则有$d|s$

令$q=\lfloor \frac a,s\rfloor,r=a\space mod\space s=a-qs,$

$r=a-qax-qby=(1-qx)a+(-qy)b$

可以看出$r$也表示的是$a,b$的线性组合，

又因为$0\leq r<s$，$s$又是满足$d|(ax+by)$的最小正值，

所以$r=0$，则有$s|a,$ 同理$s|b$,则$s|d$，

因此可得$d=s$，命题得证。