1. 暴力求解

如下图所示。蓝色的小三角表示和sequence比较时的开始字符,绿色小三角表示失败后模式串比对的开始字符,红色框表示当前比较的字符对。

当和模式串发生不匹配时,蓝色小三角后移一位,绿色小三角移到模式串的第0位。

如果sequence长度为m, pattern长度为n,暴力求解的时间复杂度:O(m * n)

2. KMP算法

暴力求解中"当和模式串发生不匹配时,蓝色小三角后移一位,绿色小三角移到模式串的第0位。"能不能多移几位呢?

在发生不匹配之前,我们已经比较一些字符,这些字符内部有什么可以被我们利用的特征呢?

2.1 举个例子

2.1.1 例子1

上图中,pattern_1表示移动前的pattern,pattern_2表示发生了不匹配后用KMP算法移动后的pattern。

我们希望的效果是,既然sequence串到index_s = 10之前都已经和模式串p比较过了,尽量不要再回退回去(退到index_s = 4的下一位即index_s = 5)重新比较了,从index_s =10继续比较就好了。那对于模式串应该从index_p为多少开始比较,可以保证index_p之前的子串均与sequence中index_s 之前的子串匹配呢?

如上图所示,已经匹配过的子串是sub = "ABCDAB"。看pattern串,其前缀p_part1 = 后缀p_part2. 而pattern串的后缀 p_part2 = 当前匹配的sequence串的s_part.

$$ p\_part1 = p\_part2 = s\_part $$

那么把pattern串移动到和当前匹配的sequence串后缀对应的位置上,(如pattern_2所示)就一定可以保证 s_part = part_1,那么从 sequence的index_s = 10 和 pattern的 index_p = 2继续比较就可以了。

因此,无论在sequence的哪个位置发生了不匹配,都不用移动当前sequence的待比较index_s,也就是寻找下一个待比较的sequence字符和pattern字符时,和sequence是解耦的。

唯一有影响的就是已经匹配过的pattern子串。对于pattern串,在index_p位置与sequence发生了不匹配,而已经匹配过的pattern的子串有 p_part1 = p_part2,因此下一次只需要用

p_part1部分的下一个元素和index_s处元素比较就可以了。它们之前的子串一定是相同匹配的(如图sequence和pattern_2中,s_part = p_part2)。

OK,那么寻找已经匹配的子串的相同前缀后缀元素,之后让pattern移动后的前缀 和 移动前的后缀对应起来,它们一定匹配,那么继续向后比较就可以了。

2.1.2 例子2

但是有一个问题,如果已经匹配过的子串前缀后缀相同元素有多种可能的情况,应该怎么移动?

比如 sub = "AAABAAA"。

有3中可能的移动方式,匹配3位(sub_1),2位(sub_2)还是1位后缀(sub_3)?

不难看出,应该匹配最长前缀后缀元素的sub_1。如果选择了sub_2或是sub_3,则可能出现漏查。

2.2 基本概念

以上例子可以抽象出来两个概念,一个是 前缀后缀的最长公共元素;一个是next数组

前缀后缀的最长公共元素:已匹配过的子串的最长相同的 前缀和后缀的 元素。例子1,对于sub = "ABCDAB", 前缀后缀的最长公共元素就是"AB"。例子2,对于sub = "AAABAAA", 前缀后缀的最长公共元素就是"AAA"。也就对应图中符号p_part1, p_part2.

next数组:由上面的例子可知,匹配失败后寻找下一个待匹配的元素对,可以和sequence解耦,只看pattern。在pattern的不同位置发生了不匹配,都可以通过pattern串本身的特征找到下一个待匹配的元素位置。那么可以用一个数组记录下,在pattern串各位发生了不匹配时候,下一个要比较的pattern的元素的位置。就是next数组。next[j] = k 代表p[j] 之前的模式串子串中,有长度为 k 的相同前缀和后缀,即前缀 [0 ~ (k - 1)] 与 后缀 [(j - k) ~ (j - 1)] 对应匹配。

2.3 next数组的建立

KMP算法的关键就是next数组的建立。

next数组初始化next[0] = -1,对于之后的值,可以通过递推的方法来求。已知next[0]...next[j],求next[j + 1] = ?

这里记 next[j] = k,next[k] = k'。

next[j] = k 表示在pattern的 j 处发生了不匹配时,最长的相同前缀后缀元素长度为 k, 即前缀 [0 ~ (k - 1)] 长度为k的子串与 后缀 [(j - k) ~ (j - 1)] 长度为k的子串是匹配的。

求next[j + 1],就要看在 j + 1 位置之前,最长的相同前缀后缀元素是多长,那么p[k] 和 p[j]是否相同就很关键。如果二者相同,则相比于next[j],最长的相同前缀后缀元素长度就可以加一。如果不相同,那么就需要从 前缀子串 [0 ~ (k - 1)] 中再截一段更短前缀,使之与后缀匹配。

(1) 若 p[k] == p[j],则next[j + 1] = next[j] + 1 = k + 1

由上图易知,前缀的最后一位从黄色正立小三角位置移动到红色正立小三角位置;后缀的最后一位从黄色倒立小三角位置移动到红色倒立小三角位置。

(2) 若 p[k] != p[j],则递推 k' = next[k] 

那么最长相同前缀后缀元素就在k处断掉了,所以,最长相同前缀不是pattern_1.

递推 k' = next[k] ,判断 p[k'] ?= p[j].

(如上图 pattern_2 黄色正立小三角及之前子串表示前缀part_1, pattern 倒立黄色小三角及之前长度为 k' + 1 子串表示后缀part_2,它们是对应匹配的。)

a) 若p[k'] == p[j],则 next[j + 1] = k' + 1

b) 若p[k'] != p[j],返回(2), 继续递推 k'' = next[k']

2.4 next数组的优化

以该图为例,还是求next[j + 1]。现在假设 p[k] == p[j],是否就要设定 next[j + 1] = k + 1?

分析:next[j + 1]表示如果p[j + 1] != s[index_s],那么就继续比较 p[next[j + 1]] 和 s[index_s]。但是,如果 p[next[j + 1]] = p[k + 1] = p[j + 1],那必然和 s[index_s]不匹配。所以在最初建立next数组时候就要加入这个考虑,继续递推k = next[j]直到 p[j + 1] != p[k + 1]。

3. 代码实现

def getNEXT(p):
len_p = len(p)
NEXT = [-1] * len_p
NEXT[0] = -1
# k: indicator of prefix
# j: indicator of suffix
k = -1
j = 0 while j < len_p - 1:
if k == -1 or p[k] == p[j]:
k += 1
j += 1
while p[j] == p[k]:
k = NEXT[k]
if p[j] != p[k]:
NEXT[j] = k
else:
k = NEXT[k] return NEXT def KMPSearch(s, p, NEXT):
i = 0
j = 0
len_s = len(s)
len_p = len(p)
while i < len_s and j < len_p:
if j == -1 or s[i] == p[j]:
i += 1
j += 1
else:
j = NEXT[j] if j == len_p:
return i - j
else:
return -1 s = "BBC ABCDAB ABCDABDABDE"
p = "ABCDABD"
NEXT = getNEXT(p)
ret = KMPSearch(s, p, NEXT)
print(ret)

参考链接:

1. 从头到尾彻底理解KMP:https://www.cnblogs.com/zhangtianq/p/5839909.html

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