MATLAB练习

第六章数据分析与多项式计算

1、max和min

1、分别求矩阵A中各列和各行元素中的最大值。max和min的用法一样
 % 【例6.1】分别求矩阵中各列和各行元素中的最大值。

A=[54,86,453,45;90,32,64,54;-23,12,71,18];
y1=max(A);   %求矩阵A中各列元素的最大值
y2=max(A,[],2)   %求矩阵A中各行元素的最大值

y2 =

   453
    90
    71

>> y1

y1 =

    90    86   453    54

    
2、求矩阵X、Y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。

>> X=[443,45,43;67,34,-43];
>> Y=[65,73,34;61,84,326];
>> p=max(X,Y);%两矩阵元素的同一位置比较，返回最大值
p =
   443    45    45
    67    45    45

3、将矩阵A的元素与常数x比较，返回较大的元素，构成同A阶数相同的矩阵，元素取

>> x=45;
>> p=max(A,x);
p =
   443    45    45
    67    45    45

2、求和sum(A)和sum(X,dim)、求积prod用发同sum

求矩阵A的每行元素之和和全部元素之和。
>> A=[9,10,11,12;100,200,300,400;50,60,50,60];
>> S=sum(A,2)   %求A每行元素的和
S =
          42
        1000
         220
>> p=sum(A)   %求A的全部元素之和
P =
   1262

3、求平均值和中值

求平均数格式：
M=mean(X);    X:向量或者矩阵 
M=mean(A,dim);  dim=1或2(行)
求中值格式：
M=median(X);    X:向量或者矩阵 
M=median(A,dim);  dim=1或2(列)
 
例如，求向量x = [-8，2，4，7，9]与y = [-8，2，4，7，9，15]的平均值和中值。

>> x=[-8,2,4,7,9];            % 奇数个元素
>> mx=[mean(x),median(x)]
mx =
    2.8000    4.0000
>> y=[-8,2,4,7,9,15];           % 偶数个元素
>> my=[mean(y), median(y)]
my =
    4.8333    5.5000

4、求累加和与累乘积

累加格式：
B = cumsum(X)；      X：向量或矩阵
B = cumsum(X,dim)：  dim：1或2(列)
累乘积用法同累加和
B = cumprod(X)；      X：向量或矩阵
B = cumprod(X,dim)：  dim：1或2(列)
列【例6.4】求S=1+（1+2）+(1+2+3)+…+(1+2+…+10)的值。

>> y=cumsum(1:10)
y =
     1     3     6    10    15    21    28    36    45    55
>> s=sum(y)
s =
   220

5、统计描述函数

1、标准差

调用格式
s = std(X , w, dim)   X矩阵或者行向量，w：用于指定标准差的计算方法；w=0或1  dim=1或2(求行元素标准差)
某次射击选拔比赛中小明与小华的10次射击成绩（单位：环）如表6.1所示，试比较两人的成绩。
小明：7,4,9,8,10,7,8,7,8,7
小华：7,6,10,5,9,8,10,9,5,6

>> hitmark=[7,4,9,8,10,7,8,7,8,7;7,6,10,5,9,8,10,9,5,6];
>> mean(hitmark,2)；    %按行求平均值，返回一个列向量
ans =
    7.5000
    7.5000
>> std(hitmark,[],2)；按行求标准差，返回一个列向量
ans =
    1.5811
    1.9579

　注意：标准差越小，成绩波动越小

2、方差

var函数的调用格式为
V = var(X, w, dim)    x：向量或者矩阵   w用于指定权重方案(为0:或为1)   dim=1(求各列方差)或2

考察一台机器的产品质量，判定机器工作是否正常。根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。假设搜集的数据如表6.2所示，问此时的机器是否必须关闭？

>> samples=[3.43,3.45,3.43,3.48,3.52,3.50,3.39,3.48,3.41,3.38,3.49,3.45,3.51,3.50];
>>var_samples=var(samples);
var_samples =
    0.0021

3、相关系数

[R,P]=corrcoef(X,Y)：     %R：相关系数矩阵，p:p值矩阵      X和我Y：
矩阵返回相关系数矩阵和p值矩阵。如果得到的p值矩阵的非对角线元素小于显著性水平（即90%置信区间，默认为 0.05），则R中的相应相关性被视为显著
[R,P]=corrcoef(X)     
【例6.7】随机抽取15名健康成人，测定血液的凝血酶浓度及凝血时间，数据如表6.3所示。分析凝血酶浓度与凝血时间之间的相关性。

>> density=[1.1,1.2,1.0,0.9,1.2,1.1,0.9,0.6,1.0,0.9,1.1,0.9,1.1,1,0.7];  %凝血酶浓度
>> cruortime=[14,13,15,15,13,14,16,17,14,16,15,16,14,15,17];   %凝血时间
>> [R,P]=corrcosf(density,cruortime)
R =
    1.0000   -0.9265
   -0.9265    1.0000

注意;R的绝对值接近1，说明相关程度高

4、协方差

C = cov(x)：
C = cov(x,y)
随机抽取15名健康成人，测定血液的凝血酶浓度及凝血时间，数据如表6.3所示。分析凝血酶浓度与凝血时间之间的相关性

>> density=[1.1,1.2,1.0,0.9,1.2,1.1,0.9,0.6,1.0,0.9,1.1,0.9,1.1,1,0.7];
>> cruortime=[14,13,15,15,13,14,16,17,14,16,15,16,14,15,17];
>> C=cov(density,cruortime)
C =
    0.0289   -0.2014
   -0.2014    1.6381

注意：如果两个变量的协方差是正值，说明两者是正相关的，即两个变量的变化趋势一致；如果协方差为负值，则说明两者是负相关的，即两个变量的变化趋势相反；如果协方差为0，说明两者之间没有关系

6排序

[Y,I]=sort(X, dim, mode)    Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在X中的位置，mode指明排序的方法，'ascend'（默认值）为升序，'descend'为降序
6.8】对二维矩阵A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];做各种排序

>> A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];
>> Y=sort(A,2,'descend')            %对A的每行按降序排序
Y =
     5     1    -8
    12     6     4
    13     7   -13
>> [X,I]=sort(A) %对A的每列按升序排序，矩阵I存储X各元素在A对应列中的行号
X =
     1    -8    -13
     4     7     5
    13    12     6
I =
     1     1     3
     2     3     1
     3     2     2

6.2多项式计算

6.2.1多项式的四则运算

1、多项式的加减运算

计算

>> a=[1,-2,5,3];
>> b=[0,0,6,-1];
>> c=a+b
c =
     1    -2    11

2、多项式的乘除

w = conv(P1,P2)
[Q,r] = deconv(P1,P2)
P1、P2是两个多项式的系数向量
w是两个多项式相乘所得r
如果多项式

>> A=[1,8,0,0,-10];
>> B=[2,-1,3];
>> C=conv(A,B)
C =
     2    15    -5    24   -20    10   -30
>> [P,r]=deconv(A,B)
P =
        0.5000    4.2500    1.3750
r =
        0         0         0  -11.3750  -14.1250
以下命令验证deconv和conv是互逆的。
>> conv(B,P)+r
ans =
     1     8     0     0   -10

6.2.2多项式求导

k=polyder(P)：求多项式P的导数，即 
k=polyder(P,Q)：求P·Q的导数，即 
[q,d]=polyder(P,Q)：求P/Q的导数

>> P=[1];
>> Q=[1,0,5];
>> [p,q]=polyder(P,Q)
p =
    -2     0
q =
     1     0    10     0    25

6.2.3多项式的求值

1、代数多项式求值

y = polyval(p,x)   p是多项式系数向量。  x：标量，向量，矩阵

【例6.11】已知多项式x4 + 8x3 - 10，分别取x = 1.2和一个2 × 4矩阵为自变量计算该多项式的值。

>> A=[1,8,0,0,-10];       % 4次多项式系数
>> x=1.2;                 % 取自变量为一数值
>> y1=polyval(A,x)
y1 =
    5.8976
>> x=randi(9,2,4) %randi(imax,m,n)函数：生成一组值在[1, imax]区间均匀分布的随机整数，构建m × n矩阵
x =
     8     2     6     3
     9     9     1     5
>> y2=polyval(A,x) % 分别计算矩阵x中各元素为自变量的多项式之值
y2 =
        8182          70        3014         287
       12383       12383          -1        1615

2、矩阵多项式求值

polyval(P,A);   A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))

polyvalm(P,A)  的含义为 A：方阵   A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))


以多项式x4 + 8x3 -10为例，取一个2 × 2矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。

>> A=[1,8,0,0,-10];             % 多项式系数
>> x=[-1,1.2; 2,-1.8];         % 给出一个矩阵x
>> y1=polyval(A,x)              % 计算代数多项式的值
y1 =
  -17.0000    5.8976
   70.0000  -46.1584
>> y2=polyvalm(A,x)             % 计算矩阵多项式的值
y2 =
  -60.5840   50.6496
   84.4160  -94.3504

6.2.4多项式的求根

x=roots(P)    P为多项式的系数向量

【例6.13】已知

（1）计算f(x) = 0的全部根。
（2）由方程f(x) = 0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。

>> P=[2,-12,3,0,5];
>> X=roots(P)            %求方程f(x)=0的根
X =
5.7246 + 0.0000i
0.8997 + 0.0000i
  -0.3122 + 0.6229i
  -0.3122 - 0.6229i
>> G=poly(X)            %求多项式g(x)
G =
1.0000   -6.0000    1.5000   -0.0000    2.5000

6.2.5多项式的除法变换

[r,p,k] = residue(b,a)
[b,a] = residue(r,p,k)   
a、b 分别为分式的分母多项式、分子多项式的系数向量，r是分数多项式的商式的系数向量，p为分数多项式的极点，k为分数多项式的余式的系数向量
【例6.14】已知

（1）将f(x)进行分式分解。
（2）由分解的分式合成g(x)，并与f(x)进行对比。

>> b = [5 3 2 7];                %分子系数
>> a = [-4 0 8 3];               %分母系数
>> [r, p, k] = residue(b,a)       %r分数多项式的商式系数向量
r =
   -1.4167
   -0.6653
    1.3320
p =                                 %p为分数多项式的极点
    1.5737
   -1.1644
   -0.4093
k =
   -1.2500
>> [b,a] = residue(r,p,k)
b =
   -1.2500   -0.7500    0.5000   -1.7500
a =
    1.0000   -0.0000   -2.0000   -0.7500

6.3数据插值

6.3.1一维数据插值

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
x、v是两个等长的已知向量，分别存储采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值，则v可以为矩阵，v的每一列对应一种采样值。
输入参数xq存储插值点，输出参数vq是一个列的长度与xq相同、宽度与v相同的矩阵。
选项method用于指定插值方法,可取值如下。
    ‘linear’（默认值）：线性插值。
    ‘pchip’：分段3次埃尔米特插值
    ‘spline’：3次样条插值
    ‘ nearest’：最近邻点插值
    ‘next’：取最后一个采样点的值作为插值点的值
    'previous'：取前一个采样点的值作为插值点的值
    标量：设置域外点的返回值

【例6.15】表6.4所示为我国0~6个月婴儿的体重、身长参考标准，用3次样条插值分别求得婴儿出生后半个月到5个半月每隔1个月的身长、体重参考值。

>> tp=0:1:6;    %采样点
>> bb=[50.6,3.27;56.5,4.97;59.6,5.95;62.3,6.73;64.6,7.32;65.9,7.70;68.1,8.22]; %采样值
>> interbp=0.5:1:5.5;
>> interbv=interp1(tp,bb,interbp,'spline')   %用3次样条插值计算
interbv =
   54.0847    4.2505
   58.2153    5.5095
   60.9541    6.3565
   63.5682    7.0558
   65.2981    7.5201
   66.7269    7.9149

x1 = 1:7;
subplot(1,2,1)
y1=x1;
y1(x1<3)=3;
y1(x1>5)=5;
xq1 = 1:0.1:7;   %存储插值点
p1 = interp1(x1,y1,xq1,'pchip');   %分段3次埃尔米特插值
s1 = interp1(x1,y1,xq1,'spline');    %3次样条插值
plot(x1,y1,'ko',xq1,p1,'r-',xq1,s1,'b-.') subplot(1,2,2) x2 = 1:0.2:2*pi;    %'ko':黑圆圈作为数据点标记
y2 = cos(5*x)./sqrt(x); xq2 = 1:0.1:2*pi;   
p2 = interp1(x2,y2,xq2,'pchip');
s2 = interp1(x2,y2,xq2,'spline'); plot(x2,y2,'ko',xq2,p2,'r-',xq2,s2,'b-.')； 
legend('Sample Points','pchip','spline')

6.3数据插值

6.3.1一维数据插值

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
x、v是两个等长的已知向量，分别存储采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值，则v可以为矩阵，v的每一列对应一种采样值。
输入参数xq存储插值点，输出参数vq是一个列的长度与xq相同、宽度与v相同的矩阵。
选项method用于指定插值方法,可取值如下。
    ‘linear’（默认值）：线性插值。
    ‘pchip’：分段3次埃尔米特插值
    ‘spline’：3次样条插值
    ‘ nearest’：最近邻点插值
    ‘next’：取最后一个采样点的值作为插值点的值
    'previous'：取前一个采样点的值作为插值点的值
    标量：设置域外点的返回值

【例6.15】表6.4所示为我国0~6个月婴儿的体重、身长参考标准，用3次样条插值分别求得婴儿出生后半个月到5个半月每隔1个月的身长、体重参考值。

>> tp=0:1:6;    %采样点
>> bb=[50.6,3.27;56.5,4.97;59.6,5.95;62.3,6.73;64.6,7.32;65.9,7.70;68.1,8.22]; %采样值
>> interbp=0.5:1:5.5;   %8存储插入点
>> interbv=interp1(tp,bb,interbp,'spline')   %用3次样条插值计算
interbv =
   54.0847    4.2505
   58.2153    5.5095
   60.9541    6.3565
   63.5682    7.0558
   65.2981    7.5201
   66.7269    7.9149

6.3.2网格数据插值

1、二维数据插值

其调用格式为

Zq=interp2(X, Y, V, Xq, Yq, method, extrapval)

X、Y分别存储采样点的平面坐标，V存储采样点采样值。

Xq、Yq存储插值点的平面坐标，Zq是根据相应的插值方法得到的插值点的值。

选项method的取值与一维插值函数相同，extrapval指定域外点的返回值。

【例6.17】表6.5所示为某企业从1968~2008年、工龄为10年、20年和30年的职工的月均工资数据。试用线性插值求出1973~1993年每隔5年、工龄为15年和25年的职工月平均工资。

>> x=1968:10:2008;   %平面坐标的横坐标
>> h=[10:10:30].';   %平面坐标的纵坐标
>> W=[57,79,172,950,2496;
      69,95,239,1537,3703;
      87,123,328,2267,4982];
>> xi=1973:5:2003;   %存储采样点采样值
>> hi=[15;25];
>> WI=interp2(x,h,W,xi,hi)
WI =
   1.0e+03 *
    0.0750    0.0870    0.1462    0.2055    0.7245    1.2435    2.1715
    0.0935    0.1090    0.1963    0.2835    1.0928    1.9020    3.1223

2. 多维数据插值

MATLAB提供了3维、N维插值函数interp3、interpn，用法与interp2 一致。

Vq=interp3(X, Y, Z, V, Xq, Yq, Zq, method)

Vq=interpn(X1, X2,…,Xn, V, Xq1, Xq2,…,Xqn, method)

interp3函数的输入参数X、Y、Z以及interpn函数的输入参数 X1、X2、X3、...、Xn必须是网格格式。

6.3.3散乱数据插值

vq = griddata(x,y,v,xq,yq,method)

vq = griddata(x,y,z,v,xq,yq,zq,method)

x、y、z存储采样点的坐标，v是与采样点的采样值

xq、yq、zq存储插值点的坐标，vq是根据相应的插值方法得到的插值结果。

选项method指定插值方法，可取值如下。

‘linear’（默认值）:基于三角剖分的线性插值、
‘nearest’：基于三角剖分的最近邻点插值、
‘natural’：基于三角剖分的三次自然邻点插值、 
‘cubic’：基于三角剖分的三次插值，仅支持二维插值、
'v4'：双调和样条插值，仅支持二维插值

【例6.18】随机生成包含100个散点的数据集，绘制散点数据图和插值得到的网格数据图，观察插值结果。

xy=rand(100,3)*10-5;
x = xy(:,1);
y = xy(:,2);
z = xy(:,3);
[xq,yq] = meshgrid(-4.9:0.08:4.9, -4.9:0.08:4.9);
zq = griddata(x,y,z,xq,yq);
mesh(xq,yq,zq)
hold on
plot3(x,y,z,'rp')

　结果

6.4曲线拟合

polyfit函数的调用格式为
p = polyfit(x,y,n)
[p,S] = polyfit(x,y,n) 
[p,S,mu]=polyfit(X,Y,n)
x、y是两个等长的向量，存储采样点x和采样值y
产生一个n次多项式的系数向量p及其在采样点的误差向量S。p是一个长度为n + 1的向量，p的元素为多项式p1xn+p2xn−1+...+pnx+pn+1的系数。
mu是一个二元列向量，mu(1)是mean(x)， mu(2)是std(x)。
【例6.19】某研究所为了研究氮肥的施肥量对土豆产量的影响，做了十次实验，实验数据如表6.6所示。试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系

data=[0,15.18;34,21.36;67,25.72;101,32.29;135,34.03; ...
    202,39.45;259,43.15;336,43.46;404,40.83;471,30.75];
x=data(:,1);
y=data(:,2);
f=polyfit(x,y,2);
yi=polyval(f,x);
plot(x,y,'rp',x,yi)

6.5 非线性方程和非线性方程组的数值求解

6.5.1 非线性方程求解

求解一元连续函数F(x)的零点。
格式1：x=fzero(@fun,x0,options)     --->fun：函数名，x0：搜索起点。fzero只返回离x0最近的那个根。option为结构体变量。用于指定求解过程的优化参数。
格式2：[x,fval,exitflag,output]=fzero(@fun,x0,options)  --->fval返回目标函数在解x处的值，exitflag：返回求解过程终止原因，output ：返回寻根过程最优化的信息。
格式1为基本格式，格式2在函数寻根失败时返回寻根过程的错误和信息。
 
fzero的优化参数通常调用optimset函数设置，optimset函数的调用方法如下。options = optimset(优化参数1,值1, 优化参数2,值2,...)

【例6.20】求 e -2x - x =0在x0 = 0附近的根

fzero的优化参数通常调用optimset函数设置，optimset函数的调用方法如下。

options = optimset(优化参数1,值1, 优化参数2,值2,...)

（1）建立函数文件funx.m。

function fx=funx(x)
 
fx=exp(-2*x)-x;

（2）调用fzero函数求根。

>> z=fzero(@funx,0.0)
 
z =
 
0.4263

如果要观测函数求根过程，可先设置优化参数，然后求解，命令如下。

>> options=optimset('Display','iter');%设定显示迭代求解的中间结果
 
>> z=fzero(@funx,0.0,options);

【例6.21】求下列非线性方程组在（0.5，0.5）附近的数值解。

（1）建立函数文件myfun.m。

function q=myfun(p)
 
x1=p(1);
 
x2=p(2);
 
q(1)=x1^2+x1-x2^2-1;
 
q(2)=x2-sin(x1^2);

（2）在给定的初值（0.5，0.5）下，调用fsolve函数求方程的根。

x0=[0.5;0.5];
 
options = optimoptions('fsolve','Display','off'); %不显示中间结果
 
x= fsolve(@myfun,x0,options)
 
x =
 
0.7260
 
0.5029

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matlab第六章数据分析与多项式计算

MATLAB练习

第六章数据分析与多项式计算

1、max和min

2、求和sum(A)和sum(X,dim)、求积prod用发同sum

3、求平均值和中值

4、求累加和与累乘积

5、统计描述函数

1、标准差

2、方差

3、相关系数

4、协方差

6排序

6.2多项式计算

6.2.1多项式的四则运算

1、多项式的加减运算

2、多项式的乘除

6.2.2多项式求导

6.2.3多项式的求值

1、代数多项式求值

2、矩阵多项式求值

6.2.4多项式的求根

6.2.5多项式的除法变换

6.3数据插值

6.3.1一维数据插值

6.3数据插值

6.3.1一维数据插值

6.3.2网格数据插值

1、二维数据插值

2. 多维数据插值

6.3.3散乱数据插值

6.4曲线拟合

6.5 非线性方程和非线性方程组的数值求解

6.5.1 非线性方程求解

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