洛谷P5274 优化题(ccj)

题目背景

CCJCCJ 在前往参加 Universe \ OIUniverse OI 的途中。。。

题目描述

有一个神犇 CCJCCJ,他在前往参加 Universe \ OIUniverse OI 的途中发现了一个超星系群。

在这个超星系群,有着一群生物 ccjccj,他们有着神奇的 ccjccj 文化,蕴含文史哲艺等多方面内容,具有悠远的历史。

他们有自己的文学,自己的科学,当然,还有自己的四叶草和幸运数。在 ccjccj 文化中,不断进化是生存的必要条件,于是在这个星系群中,有 kk种数字,一个数是幸运数,当且仅当该数中从高位往低位每个数位上的数字单调不降。

CCJCCJ 想考验这个超星系群,于是有了一个任务:求由 kk 种数字组成的数中 nn 位数的幸运数的个数。

由于 ccjccj 文化中缺少超级计算机,你需要帮助他们解决这个简单的问题。

输入输出格式

输入格式:

第一行一个整数opop,表示该测试点所属SubtaskSubtask的编号。其中op=0op=0表示样例。
第二行两个整数,nn,kk,意义如题目描述中所述。

输出格式:

一行一个整数,答案ansans对1000001910000019取模。

输入输出样例

输入样例#1:

0
9 9
输出样例#1:

24310
输入样例#2:

0
15 24
输出样例#2:

1257167

说明

数据范围:
Subtask \ 1Subtask 1(10 \%10%):n \leq 1000n≤1000,k \leq 200k≤200;
Subtask \ 2Subtask 2(40 \%40%):n \leq 10000n≤10000,k \leq 5000k≤5000;
Subtask \ 3Subtask 3(40 \%40%):n \leq 10000000n≤10000000,k \leq 10000000k≤10000000;
Subtask \ 4Subtask 4(10 \%10%):n \leq 10^{18}n≤1018,k \leq 10^{18}k≤1018;
Subtask \ 5Subtask 5(0 \%0%):n \leq 10^{100000}n≤10100000,k \leq 10^{100000}k≤10100000。


题解Here!

从$k$个数中任选若干个,求单调不降序列的个数。

单调不降有点烦,我们将选出来的序列中每一位$i$上的数都加上$i$。

即:原数列为${a_i}$,新数列为${b_i=a_i+i}$。

于是变成:

从$n+k-1$个数中任选若干个,求单调上升序列的个数。

于是这个题的答案就是:$$Ans=C_{n+k-1}^n$$

直接$Lucas$即可。

附代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 10000050
#define MOD 10000019LL
using namespace std;
long long n,k;
long long fact[MAXN],inv[MAXN];
inline long long read(){
long long date=0;char c=0;
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date;
}
long long mexp(long long a,long long b,long long c){
long long s=1;
while(b){
if(b&1)s=s*a%c;
a=a*a%c;
b>>=1;
}
return s;
}
void make(){
int m=MOD-1;
fact[0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)fact[i]=fact[i-1]*i%MOD;
inv[m]=mexp(fact[m],MOD-2,MOD);
for(int i=m-1;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}
inline long long C(long long n,long long m){
if(n<m)return 0;
if(m==0||m==n)return 1;
if(m==1||m==n-1)return n;
return fact[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;
}
long long Lucas(long long n,long long m){
if(n<m)return 0;
if(m==0||m==n)return 1;
if(m==1||m==n-1)return n;
return Lucas(n/MOD,m/MOD)*C(n%MOD,m%MOD)%MOD;
}
int main(){
int t=read();
make();
n=read();k=read();
printf("%lld\n",Lucas(n+k-1,n));
return 0;
}

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