BZOJ 2111 [ZJOI2010]Perm 排列计数：Tree dp + Lucas定理

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2111

题意：

　　给定n,p，问你有多少个1到n的排列P，对于任意整数i∈[2,n]满足P[i]>P[i/2]。

　　保证p为质数，输出答案 mod p的值。(n <= 10^6, p <= 10^9)

题解：

　　对于每个i，分别向i*2和i*2+1连一条边。

　　可以发现，最终形成的是一棵以1为根节点的二叉树。

　　题目中P[i]>P[i/2]的条件，就变成了：P[fa]<P[son]

　　然后就可以dp了。

　　表示状态：

　　　　dp[i]表示对于i的子树来说，填入1到siz[i]这些数，并且满足条件的方案数。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[1]

　　如何转移：

　　　　对于i的子树来说，显然节点i只能填1。

　　　　所以首先考虑的就是将2到siz[i]这些数分配给两个子树的方案数。

　　　　设l = i*2, r = i*2+1，则方案数显然为C(siz[i]-1, siz[l])。

　　　　所以dp[i] = C(siz[i]-1, siz[l]) * dp[l] * dp[r]

　　边界条件：

　　　　dp[leaf] = siz[leaf] = 1

　　因为dp转移中要求组合数：C(n,m) = fact[n] * inv(fact[m]) * inv(fact[n-m])

　　然而给定的p可能很小，以至于与要求逆元的数不互质。

　　所以要用到Lucas定理求组合数：C(n,m)%p = C(n%p,m%p) * lucas(n/p,m/p) % p

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 1000005
 #define int ll

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 int n,p;
 int f[MAX_N];
 int dp[MAX_N];
 int siz[MAX_N];

 void cal_f()
 {
     f[]=;
     for(int i=;i<=n;i++) f[i]=f[i-]*i%p;
 }

 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     if(b==)
     {
         x=,y=;
         return;
     }
     exgcd(b,a%b,y,x);
     y-=(a/b)*x;
 }

 int inv(int a)
 {
     int x,y;
     exgcd(a,p,x,y);
     return (x%p+p)%p;
 }

 int c(int n,int m)
 {
     if(n<m) return ;
     return f[n]*inv(f[m])%p*inv(f[n-m])%p;
 }

 int lucas(int n,int m)
 {
     if(m==) return ;
     return c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;
 }

 void dfs(int x)
 {
     dp[x]=siz[x]=;
     int l=(x<<),r=((x<<)|);
     if(l<=n) dfs(l),siz[x]+=siz[l],dp[x]=dp[x]*dp[l]%p;
     if(r<=n) dfs(r),siz[x]+=siz[r],dp[x]=dp[x]*dp[r]%p;
     if(l<=n) dp[x]=dp[x]*lucas(siz[x]-,siz[l])%p;
 }

 signed main()
 {
     cin>>n>>p;
     cal_f();
     dfs();
     cout<<dp[]<<endl;
 }