【bzoj2705】[SDOI2012]Longge的问题 欧拉函数

题目描述

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

输入

一个整数，为N。

输出

一个整数，为所求的答案。

样例输入

6

样例输出

15

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题解

欧拉函数

易得知满足gcd(n,x)==i的小于等于n的x的个数为phi(n/i)，

并且欧拉函数可以在O(√n)的时间内快速求出。。

于是可以先求出所有n的因子，再用欧拉函数得出答案。

由于因子是成对出现的，所以因子并不需要枚举到n，只需枚举到√n。如果i是n的因子，那么n/i也是n的因子，注意此时i*i==n不能算进答案内。

#include <cstdio>
typedef long long ll;
ll phi(ll x)
{
	ll ans = x , t = x , i;
	for(i = 2 ; i * i <= x ; i ++ )
	{
		if(t % i == 0) ans = ans * (i - 1) / i;
		while(t % i == 0) t /= i;
	}
	if(t > 1) ans = ans * (t - 1) / t;
	return ans;
}
int main()
{
	ll n , i , ans = 0;
	scanf("%lld" , &n);
	for(i = 1 ; i * i <= n ; i ++ )
	{
		if(n % i == 0)
		{
			ans += i * phi(n / i);
			if(i * i < n) ans += (n / i) * phi(i);
		}
	}
	printf("%lld\n" , ans);
	return 0;
}