Direct3D-3 四元数
其实本来这篇文章是打算接上篇的各种变化矩阵的推导了,想了想,还是先讲四元数吧。本人的文章并不会提到欧拉角,因为我自己没弄懂欧拉角的万向锁问题。
很多人学习数学时,会有这样一个疑惑,这东西有什么用。那四元数是用来干什么的。四元数是由哈密顿在1843年发现的,但是直到1985年Shoemake才将其引入计算机图形学,四元数的作用极其简单,用来表示3D物体的方位及旋转
一个3D物体放在世界中,只有一个位置坐标是不够的,这样意味着他总是朝着某一个方向。比如说,我们的头,我们可以摇头,点头,左右卖萌。在三个方向上有3个不同的旋转角度,来确定这个物体的摆向
但是这不意味着描述方位和旋转只需要3个量就可以了吗,为什么是四元数而不是三元数?至于这个问题,我不讨论,事实上用3个角度描述方位的办法叫做 "欧拉角"。欧拉角带有各种天生的缺陷,他唯一的优点是比四元数节省(32bit?)。这种形式上的内存节省毫无必要,xnamath的数学库里用的最多的还是xmvector,4个float。但是问题是我们怎么用4个量来描述3个轴上的问题,当然,这时候要请动数学出山
理解四元数并不需要真的在3D中去理解,我们可以降维到2D中,2D中是什么,2D中是复数,复数这东西想必大家都学过,也了解各种各样的运算法则,但是你可能错过了复数的一些有意思的地方,容我讲解
(基础的复数知识请自习补充)
复数在复平面中是一个点,所以我们可以使用极坐标来表示
我们现在 把两个复数乘起来,但是是以极坐标的方式,,
我们使 R2 = 1,,事实上这个式子表示了 绕z1旋转 θ2度的结果!如下图所示
事实上 ,一个复数乘上一个单位复数(模等于1)的结果等于该复数绕单位复数与x轴所成的角度旋转,我们把Z2 作用到了Z1 上面,那么如此同理的结论我们可以推到四元数上面,让我们来看看四元数是在怎么定义的.
四元数和复数差不了太多,唯一的区别是他有三个虚部,他和复数的运算规则大同小异,下图是他的数学定义
那么最重要的当然是两个四元数相乘:
一些其他的数学操作:
当然,我们用其表示旋转的时候,是个单位四元数,其模等于 1,也就是说可以写成下面这种形式
我们还可以根据欧拉公式推出log和pow运算 这样推出
上面的两个公式的意义不大,因为我学习四元数的时候压根没学到过这个,不过也可以作为补充了。
有人会对下面这个式子表示疑惑,这个Uq是什么,还有φ是多少度,给张直观的几何图帮助大家理解
这个变换实际上是绕着这个轴旋转了两倍的角度
当然还有一个细节是,与复数不同的是,旋转并不是只乘上一个四元数就可以收工了的,而是这样的:,但是比较难的一点是我们不能从需要绕Uq轴旋转两倍角度推导出这个式子,而是要从这个式子推导出这个P旋转了两倍角度这样一个事实。对了,还忘记了没讲Uq是怎么推导的。现在给出一下
解:
因为是个单位向量,所以
,这表明了
。值得注意的是旋转角度只需要从0-π就行了。事实上就是我们找一个映射 f =
,从区间[0,π] → 区间[-1,1].我们很容易能找到这样一个函数,那就是cos θ,故
= cos θ
再根据三角公式 可以推出
.于是很显然的,我们可以推出 Uq,也就是旋转轴
(这里的n 就是 Uq)
当然,共轨就可以是 。
让我们回到开始的那个式子,构造一下这个乘积 。为了简单化,我们让p的第4分量等于0,这表示他是个点
实数部分非常简单,算出来的结果妥妥的是 0 ,不信的话自己可以代入计算。但好像还是有一部分智商拙计,还是给出推导过程吧
因为
正交,所以
。不要问我为什么正交。
虚数部分的式子更长一些,还是给出比较好,当然大家能自己再运算一到是再好不过的,没有扎实的数学基础,可很难学好图形学哦
至此,我们已经得到了结果
,再和
代入计算
再和
代入计算
。事实上。我们需要借组一个现有的公式,就是绕n旋转v的公式是什么
。事实上,可以看出,就是旋转了2倍 角度。至于
是怎么来的,以后再说吧
这一小节暂时到此结束,下一节将讲述 四元数与其对应矩阵的相互转换,已经矩阵的相关知识。附加四元数插值,还有一些变换的特性
如有错误,请大家批评指出,本文章公式的图片来自Introduction to 3DGame Programming with DirectX11 和Real-Time Rending
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