树分治learning
学习了树的点分治，树的边分治似乎因为复杂度过高而并不出众，于是没学
自己总结了一下 有些时候面对一些树上的结构 并且解决的是和路径有关的问题的时候 如果是多个询问 关注点在每次给出两个点，求一些关于这两个点之间路径的问题的时候，我们可以使用树链剖分，但是如果是给出一个单一的询问，但是很宏观 类似于求所有点对之间路径满足xx的数量，这时候我们可以树形dp做些什么 但是有时候会遇到一些树形dp难以解决的东西，类似于数组开不下，无法转移状态这种问题，就可以用树分治
树分治基于一个思想 先确定一个点 找到所有过这个点的路径并判断 再对被这个点分开的连通块做同样的操作
QAQ于是做了几道模板题
POJ1741 模板题 求一棵树中 满足点对之间路径加和小于k的数量
这里用到了一个动态规划 判断一个数组中 选两个数能加起来<k 做法是sort后维护两个指针
其余的地方都很模板，需要注意的是要对root的所有son进行solve之后再重置lr
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
#define L long long
#define pb push_back
#define lala printf("--------\n");
#define ph push
#define rep(i, a, b) for (int i=a;i<=b;++i)
#define dow(i, b, a) for (int i=b;i>=a;--i)
#define fmt(i,n) if(i==n)printf("\n");else printf(" ") ;
#define fi first
#define se second
template<class T> inline void flc(T &A, int x){memset(A, x, sizeof(A));}
int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n , m ;
bool vis[10050] ;
int dis[10050] ;
///---
struct node {
int v,w,nex;
}b[10050*2];
int tot ;
int head[10050] ;
void init() {
flc(head,-1);
tot = 0 ;
}
void add(int u,int v,int w) {
tot ++ ;
b[tot].v=v;
b[tot].w=w;
b[tot].nex=head[u];
head[u]=tot;
}
///---
int son[10050] ;
int getsize(int u,int fa) {
son[u] = 1 ;
for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = b[i].nex) {
int v = b[i].v ;
if(v==fa || vis[v]) continue ;
son[u]+=getsize(v,u);
}
return son[u];
}
int minn ;
void getroot(int u,int fa,int &root,int siz) {
int maxx = siz - son[u] ;
for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = b[i].nex) {
int v=b[i].v ;
if(v==fa || vis[v]) continue ;
getroot(v,u,root,siz) ;
maxx = max(maxx,son[v]) ;
}
if(minn == -1 || maxx < minn) {
minn = maxx ;
root = u ;
}
}
///---
int l , r ;
void getdepth(int u,int fa,int xd) {
dis[++r] = xd ;
for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = b[i].nex) {
int v = b[i].v ;
int w = b[i].w ;
if(v == fa || vis[v]) continue ;
getdepth(v , u , xd + w) ;
}
}
bool cmp(int a, int b) {
return a<b;
}
int getdep(int l , int r) {
if(l >= r) return 0 ;
sort(dis + l , dis + r + 1 , cmp ) ;
int res = 0 ;
int le = l ;
int ri = l-1 ;
while(ri+1 <= r && dis[ri+1] + dis[le] <= m) {
ri ++ ;
res ++ ;
}
while(le + 1 <= r) {
le ++ ;
while(ri >= l && dis[ri] + dis[le] > m) ri -- ;
res += ri - l + 1 ;
} for(int i = l ; i <= r ; i ++ ) {
if(dis[i]*2 <= m) res -- ;
}
return (res / 2) ;
}
///---
int solve(int u) {
int siz = getsize(u , -1) ;
minn = -1 ;
int root = -1 ;
getroot(u , -1 , root , siz) ;
vis[root] = true ;
int res = 0 ;
for(int i = head[root] ; i != -1 ; i = b[i].nex) {
int v = b[i].v ;
if(vis[v]) continue ;
int z = solve(v) ;
res += z ;
}
l = 1 ;
r = 0 ;
for(int i = head[root] ; i != -1 ; i = b[i].nex) {
int v = b[i].v ;
int w = b[i].w ;
if(vis[v]) continue ;
getdepth(v , root , w) ;
res -= getdep(l , r) ;
l = r + 1 ;
}
res += getdep(1 , r) ;
for(int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) {
if(dis[i] <= m) res ++ ;
else break ;
}
vis[root] = false ;
return res ;
} int main () {
while(scanf("%d%d" , &n, &m) != EOF) {
if(n==0&&m==0) break ;
init() ;
rep(i,1,n-1) {
int u,v,w;
u=read();v=read();w=read();
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
memset(vis,false,sizeof(vis));
int ans = solve(1) ;
printf("%d\n" , ans) ;
}
}
BZOJ 2152 求路径%3==0的点对的数量
因为只是%3 所以比较容易些。。如果写树形dp的话会比较好写 维护一个dp[n][3]的数组就可以
但是如果不是3是很大的数字 就得开dp[n][m] 如果开不下的话就得树分治
/// 树形dp跑得又好又快QAQ
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
#define L long long
#define pb push_back
#define lala printf("--------\n");
#define ph push
#define rep(i, a, b) for (int i=a;i<=b;++i)
#define dow(i, b, a) for (int i=b;i>=a;--i)
#define fmt(i,n) if(i==n)printf("\n");else printf(" ") ;
#define fi first
#define se second
template<class T> inline void flc(T &A, int x){memset(A, x, sizeof(A));}
int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n ;
struct node {
int v,w,nex;
}b[20050 * 2];
int head[20050];
int tot ;
void add(int u,int v,int w) {
tot++;
b[tot].v=v;b[tot].w=w;
b[tot].nex=head[u];head[u]=tot;
}
void init() {
flc(head,-1);
tot=0;
} int dp[20050][5] ;
int ans ; void dfs(int u,int fa) {
int a[4];
flc(a,0) ;
a[0] = 1 ;
for(int i=head[u];i!=-1;i=b[i].nex) {
int v=b[i].v ;
int w=b[i].w ;
if(v==fa) continue ;
dfs(v,u) ;
rep(j,0,2) {
dp[u][(j+w)%3]+=dp[v][j] ;
}
rep(j,0,2) {
int z=w+j;
z%=3 ;
if(z==0) {
ans += a[0]*dp[v][j] ;
}
if(z==1) {
ans += a[2]*dp[v][j] ;
}
if(z==2) {
ans += a[1]*dp[v][j] ;
}
}
rep(j,0,2) {
a[(j+w)%3]+=dp[v][j] ;
}
}
dp[u][0] ++ ;
} int main (){
while(scanf("%d" , &n) != EOF) {
init() ;
flc(dp,0);
ans = 0 ;
rep(i,1,n-1){
int u=read(),v=read(),w=read();
add(u,v,w);add(v,u,w);
}
dfs(1,-1);
int fm = n*n;
ans *= 2 ;
ans += n ;
int gc = __gcd(fm,ans) ;
fm/=gc ;
ans/=gc ;
printf("%d/%d",ans,fm) ;
}
}
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
#define L long long
#define pb push_back
#define lala printf("--------\n");
#define ph push
#define rep(i, a, b) for (int i=a;i<=b;++i)
#define dow(i, b, a) for (int i=b;i>=a;--i)
#define rnode(i,u) for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = b[i].nex)
#define fmt(i,n) if(i==n)printf("\n");else printf(" ") ;
#define fi first
#define se second
template<class T> inline void flc(T &A, int x){memset(A, x, sizeof(A));}
int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;} int n , m ;
int ans ;
bool vis[20050] ;
int dis[20050] ;
///---
struct node {
int v,w,nex;
}b[20050*2];
int tot ;
int head[20050] ;
void init() {
flc(head,-1);
tot = 0 ;
}
void add(int u,int v,int w) {
tot ++ ;
b[tot].v=v;
b[tot].w=w;
b[tot].nex=head[u];
head[u]=tot;
}
///---
int siz[20050];
int getsize(int u,int fa) {
siz[u] = 1 ;
for(int i=head[u];i!=-1;i=b[i].nex) {
int v=b[i].v;
if(v==fa||vis[v]) continue ;
siz[u]+=getsize(v,u);
}
return siz[u];
}
int minn ;
void getroot(int u,int fa,int num,int &root) {
int maxx=0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=b[i].nex){
int v=b[i].v ;
if(v==fa||vis[v]) continue ;
getroot(v,u,num,root);
maxx=max(maxx,siz[v]);
}
maxx=max(maxx,num-siz[u]);
if(maxx<minn){
minn=maxx;root=u;
}
}
///---
int l,r;
void getdepth(int u,int fa,int xd) {
dis[++r]=xd ;
rnode(i,u) {
int v=b[i].v ;
if(v==fa||vis[v]) continue ;
int w=b[i].w ;
getdepth(v,u,xd+w) ;
}
}
int getdep(int l,int r) {
if(l>r) return 0 ;
int a[3] ; flc(a,0) ;
rep(i,l,r) {
a[dis[i]%3] ++ ;
}
int res = 0 ;
rep(i,0,2) {
rep(j,0,2) {
if((i+j)%3==0) res += a[i]*a[j] ;
}
}
return res ;
}
///---
int solve(int u) {
int num = getsize(u,-1);
minn = 999999999 ;
int root ;
getroot(u,-1,num,root);
int ans = 0 ;
vis[root]=true;
rnode(i,root) {
int v=b[i].v;
if(vis[v]) continue ;
ans += solve(v) ;
}
l = 1 ;
r = 0 ;
rnode(i,root) {
int v=b[i].v;
int w=b[i].w;
if(vis[v]) continue ;
getdepth(v,root,w) ;
ans -= getdep(l,r) ;
l = r + 1 ;
}
dis[++r] = 0 ;
ans += getdep(1,r) ;
vis[root] = false ;
return ans ;
} int main () {
while(scanf("%d" , &n) != EOF) {
init() ;
rep(i,1,n-1) {
int u=read();int v=read() ; int w = read();
add(u,v,w) ; add(v,u,w) ;
}
memset(vis,false,sizeof(vis)) ;
int ans = solve(1) ;
int fm = n*n ;
int g = __gcd(ans,fm) ;
fm/=g ;
ans/=g ;
printf("%d/%d\n" , ans , fm) ;
}
}
HDU 5977 大连的铜牌题 求包含所有颜色的路径的数目 k<=10
这个题的颜色来源于点 在对root的son进行getdepth的时候 需要把root的颜色给带下去 因为我们用ans-root的同一个son内的孩子 里面肯定是包含root的颜色的 这个关系是或 所以可以直接或上去
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
#define L long long
#define pb push_back
#define lala printf("--------\n");
#define ph push
#define rep(i, a, b) for (L i=a;i<=b;++i)
#define dow(i, b, a) for (L i=b;i>=a;--i)
#define rnode(i,u) for(L i = head[u] ; i != -1 ; i = b[i].nex)
#define fmt(i,n) if(i==n)printf("\n");else printf(" ") ;
#define fi first
#define se second
template<class T> inline void flc(T &A, L x){memset(A, x, sizeof(A));}
L read(){L x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;} L n , k , m ;
L ans ;
bool vis[50050] ;
L bl[50050] ;
///---
struct node {
L v,nex;
}b[50050*2];
L tot ;
L head[50050] ;
L dis[50050] ;
void init() {
flc(head,-1);
tot = 0 ;
memset(vis,false,sizeof(vis)) ;
}
void add(L u,L v) {
tot ++ ;
b[tot].v=v;
b[tot].nex=head[u];
head[u]=tot;
}
///---
vector<int>q[2050] ;
void thefirst() {
L z = (1<<k)-1 ;
rep(i,0,1024) q[i].clear() ;
rep(i,0,z) {
rep(j,0,z) {
if( (i|j) == z) {
q[i].pb(j) ;
}
}
}
}
///---
L siz[50050];
L getsize(L u,L fa) {
siz[u] = 1 ;
rnode(i,u){
L v=b[i].v;
if(v==fa||vis[v]) continue ;
siz[u]+=getsize(v,u);
}
return siz[u];
}
L minn ;
void getroot(L u,L fa,L num,L &root) {
L maxx=0;
rnode(i,u){
L v=b[i].v ;
if(v==fa||vis[v]) continue ;
getroot(v,u,num,root);
maxx=max(maxx,siz[v]);
}
maxx=max(maxx,num-siz[u]);
if(minn==-1||maxx<minn){
minn=maxx;root=u;
}
}
///---
L l , r ;
void getdepth(L u,L fa,L xd) {
xd |= (1 << (bl[u]-1)) ;
dis[++r] = xd ;
rnode(i,u) {
L v=b[i].v;
if(vis[v] || v==fa) continue ;
getdepth(v,u,xd) ;
}
}
L mp[2050] ;
L getdep(L l , L r) {
if(l>r) return 0 ;
flc(mp,0) ;
L ans = 0 ;
rep(i,l,r) {
L x=dis[i] ;
for(L i=0;i<q[x].size();i++){
L y=q[x][i];
ans += mp[y] ;
}
mp[x] ++ ;
}
return ans ;
}
///---
L solve(L u) {
L siz = getsize(u,-1) ;
L root = -1;
minn = -1 ;
getroot(u,-1,siz,root) ;
vis[root]=true ;
L ans = 0 ;
rnode(i,root) {
L v=b[i].v;
if(vis[v]) continue ;
ans += solve(v) ;
}
l = 1 ;
r = 0 ;
rnode(i,root) {
L v=b[i].v ;
if(vis[v]) continue ;
getdepth(v,root,(1<<(bl[root]-1))) ;
ans -= getdep(l,r) ;
l = r + 1 ;
}
L x = (1<<(bl[root]-1)) ;
L K = (1<<k)-1 ;
rep(i,1,r) {
if((x | dis[i]) == K) {
ans ++ ;
}
}
ans += getdep(1,r) ;
vis[root]=false;
return ans ;
} int main () {
while(scanf("%lld%lld" , &n,&k) != EOF) {
init() ;
thefirst() ;
rep(i,1,n) bl[i] = read() ;
rep(i,1,n-1) {
L u=read(),v=read();
add(u,v) ;
add(v,u) ;
}
if(k == 1) {
printf("%lld\n" , n*n) ;
continue ;
}
L ans = solve(1) ;
printf("%lld\n" , ans*2) ;
}
}
学会了树分治之后开启了新技能“看见什么不明显DP的树上结构就觉得可以树分治” 感觉要分治算法学傻。。
训练赛看到一个题 感觉树形DP不可做 于是想树分治 发现解决不了这个问题 但是感觉还是树分治 赛后发现果然
uvaLive 6900 给出一棵树 每条边有cost与val 我有C 在树上选一条路径出来 使sum(cost) <＝ C时的最大val
这个和加减不太一样 因为加减是可以通过对root的son来操作进行去重的 上一个大连的是进行或运算 也无可厚非 但是这个求max 是不可逆的
但是我们本来就不需要去重 和以前模板思路不一样的是 我们保存dis数组中 每一个值来自哪个root的儿子R 然后对R排序 处理完一个R再搞另一个R 我们不需要排序 因为根据dfs的特性 相同的R一定有且只有一段 所以不需要sort 和之前的去重没有什么时间上的差别 因为省去了去重的时间 所以我想 时间应该会更快
在第一道题里面 用一个sort+O(n)单调思想 其实sort就撑到nlogn了 所以之后的nlogn也是可以接受的 可以做一个树状数组 来维护前缀max
因为不能开太大 所以进行一个离散化 时间也是nlogn的 最后的复杂度还是nlognlogn 虽然常数大点
这种思想是泛用的 之前的几道题也可以这么做
uvaLive 6900
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
#define L long long
#define pb push_back
#define lala printf("--------\n");
#define ph push
#define rep(i, a, b) for (int i=a;i<=b;++i)
#define dow(i, b, a) for (int i=b;i>=a;--i)
#define fmt(i,n) if(i==n)printf("\n");else printf(" ") ;
#define rnode(i,u) for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = b[i].nex)
#define fi first
#define se second
template<class T> inline void flc(T &A, int x){memset(A, x, sizeof(A));}
int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n , m;
struct node {
int vol,val;
int R ;
}dis[20050];
bool vis[20050];
struct no {
int v,vol,val,nex;
}b[20050*2];
int head[20050];
int tot;
void init() {
flc(head,-1);
tot=0;
}
void add(int u,int v,int vol,int val) {
tot++ ;
b[tot].v=v;b[tot].vol=vol;b[tot].val=val;
b[tot].nex=head[u] ; head[u]=tot;
}
int V ;
///---
int son[20050] ;
int getsize(int u,int fa) {
son[u] = 1 ;
rnode(i,u) {
int v=b[i].v;
if(v==fa || vis[v]) continue ;
son[u] += getsize(v,u) ;
}
return son[u] ;
}
int minn ;
void getroot(int u,int fa,int &root,int siz) {
int maxx = siz - son[u] ;
rnode(i,u) {
int v=b[i].v ;
if(v==fa || vis[v]) continue ;
if(son[v] > maxx) maxx = son[v] ;
getroot(v,u,root,siz) ;
}
if(maxx < minn) {
minn = maxx;
root = u ;
}
}
///---
int l,r ;
void getdepth(int u,int fa,int xdvol,int xdval,int sp) {
node tmp ;
tmp.vol = xdvol ;
tmp.val = xdval ;
tmp.R = sp ;
dis[++r] = tmp ;
rnode(i,u) {
int v = b[i].v ;
if(v == fa || vis[v]) continue ;
getdepth(v,u,xdvol + b[i].vol,xdval + b[i].val,sp) ;
}
}
int c[40050] ;
int lowbit(int x) {
return (x&(-x)) ;
}
void segadd(int x,int ma) {
while(x<=40000) {
c[x]=max(c[x] , ma) ;
x+=lowbit(x) ;
}
}
int fin(int x) {
int res = 0 ;
while(x>0) {
res = max(c[x],res);
x-=lowbit(x) ;
}
return res ;
}
int calc(int l,int r) {
if(l > r) return 0 ;
flc(c,0) ;
vector<int>ls ; ls.clear() ;
rep(i,l,r) {
ls.pb(dis[i].vol) ;
}
int res = 0 ;
sort(ls.begin(),ls.end()) ;
ls.erase(unique(ls.begin(),ls.end()) , ls.end()) ;
for(int i = l ; i <= r ; i ++ ) {
int j = i ;
while(j <= r && dis[j].R == dis[i].R) {
int z = dis[j].vol ;
int val1 = dis[j].val ;
if(z > V) {
j ++ ;
continue ;
}
int x = V - z ;
int id = -2 ;
int ll = 0 ;
int rr = ls.size()-1 ;
while(ll<=rr) {
int mid=(ll+rr)/2 ;
if(ls[mid]<=x) {
id=mid;
ll=mid+1;
}
else {
rr=mid-1;
}
}
if(id==-2){
j++;
continue ;
}
int rres = fin(id+1) ;
res = max(res , rres + dis[j].val) ;
j ++ ;
}
j -- ;
rep(k,i,j) {
int vol = dis[k].vol ;
int val = dis[k].val ;
int id = lower_bound(ls.begin(),ls.end(),vol)-ls.begin()+1 ;
segadd(id,val) ;
}
i = j ;
}
return res ;
}
///---
int solve(int u) {
int siz = getsize(u,-1) ;
minn = 999999999 ;
int root ;
getroot(u,-1,root,siz) ;
vis[root] = true ;
int res = 0 ;
rnode(i,root) {
int v=b[i].v ;
if(vis[v]) continue ;
int x = solve(v) ;
res = max(res,x) ;
}
l = 1 ;
r = 0 ;
rnode(i,root) {
int v = b[i].v ;
int vol = b[i].vol ; int val = b[i].val ;
if(vis[v]) continue ;
getdepth(v,root,vol,val,v) ;
}
res = max(res , calc(1,r)) ;
rep(i,1,r) {
if(dis[i].vol <= V) {
res = max(dis[i].val , res) ;
}
}
vis[root] = false ;
return res ;
} int main () {
int t = read();
while(t -- ) {
n = read();
init() ;
rep(i,2,n) {
int u=read(),v=read(),vol=read(),val=read() ;
add(u,v,vol,val);
add(v,u,vol,val);
}
V = read() ;
memset(vis,false,sizeof(vis));
int ans=solve(1) ;
printf("%d\n" , ans) ;
}
}
BZOJ 2152 用这种方法改了一下 发现由于必须sort 所以复杂度比之前的做法要多一个log
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
#define L long long
#define pb push_back
#define lala printf("--------\n");
#define ph push
#define rep(i, a, b) for (int i=a;i<=b;++i)
#define dow(i, b, a) for (int i=b;i>=a;--i)
#define rnode(i,u) for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = b[i].nex)
#define fmt(i,n) if(i==n)printf("\n");else printf(" ") ;
#define fi first
#define se second
template<class T> inline void flc(T &A, int x){memset(A, x, sizeof(A));}
int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;} int n , m ;
int ans ;
bool vis[20050] ;
struct no {
int x , R;
}dis[20050] ;
///---
struct node {
int v,w,nex;
}b[20050*2];
int tot ;
int head[20050] ;
void init() {
flc(head,-1);
tot = 0 ;
}
void add(int u,int v,int w) {
tot ++ ;
b[tot].v=v;
b[tot].w=w;
b[tot].nex=head[u];
head[u]=tot;
}
///---
int siz[20050];
int getsize(int u,int fa) {
siz[u] = 1 ;
for(int i=head[u];i!=-1;i=b[i].nex) {
int v=b[i].v;
if(v==fa||vis[v]) continue ;
siz[u]+=getsize(v,u);
}
return siz[u];
}
int minn ;
void getroot(int u,int fa,int num,int &root) {
int maxx=0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=b[i].nex){
int v=b[i].v ;
if(v==fa||vis[v]) continue ;
getroot(v,u,num,root);
maxx=max(maxx,siz[v]);
}
maxx=max(maxx,num-siz[u]);
if(maxx<minn){
minn=maxx;root=u;
}
}
///---
int l,r;
void getdepth(int u,int fa,int xd,int sp) {
no tmp ;
tmp.x = xd ;
tmp.R = sp ;
dis[++r] = tmp ;
rnode(i,u) {
int v=b[i].v ;
if(v==fa||vis[v]) continue ;
int w=b[i].w ;
getdepth(v,u,xd+w,sp) ;
}
}
int getdep(int l,int r) {
if(l>r) return 0;
int res = 0 ;
int a[5] ; flc(a,0) ;
for(int i = l ; i <= r ; i ++ ) {
int j = i ;
while(j <= r && dis[j].R==dis[i].R) {
int x = dis[j].x % 3 ;
int ned = 3 - x ;
ned %= 3 ;
res += a[ned] ;
j ++ ;
}
j -- ;
rep(k,i,j) {
int x = dis[k].x % 3 ;
a[x] ++ ;
}
i = j ;
}
return res ;
}
///---
int solve(int u) {
int num = getsize(u,-1);
minn = 999999999 ;
int root ;
getroot(u,-1,num,root);
int ans = 0 ;
vis[root]=true;
rnode(i,root) {
int v=b[i].v;
if(vis[v]) continue ;
ans += solve(v) ;
}
l = 1 ;
r = 0 ;
rnode(i,root) {
int v=b[i].v;
int w=b[i].w;
if(vis[v]) continue ;
getdepth(v,root,w,v) ;
}
ans += getdep(1,r) ;
rep(i,1,r) {
if(dis[i].x % 3 == 0) ans ++ ;
}
vis[root] = false ;
return ans ;
} int main () {
while(scanf("%d" , &n) != EOF) {
init() ;
rep(i,1,n-1) {
int u=read();int v=read() ; int w = read();
add(u,v,w) ; add(v,u,w) ;
}
memset(vis,false,sizeof(vis)) ;
int ans = solve(1) ;
ans *= 2;
ans += n ;
int fm = n*n ;
int g = __gcd(ans,fm) ;
fm/=g ;
ans/=g ;
printf("%d/%d\n" , ans , fm) ;
}
}
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