【LuoguP1273有线电视网】树形依赖背包

参考论文http://wenku.baidu.com/view/8ab3daef5ef7ba0d4a733b25.html

参考一篇写的很好的博文http://www.cnblogs.com/GXZC/archive/2013/01/13/2858649.html

题目链接http://www.luogu.org/problem/show?pid=1273

首先确定泛化物品的定义：价值随着体积变化的物体，如01背包中的f[i]（体积为i时的最大价值最f[i]）。

泛化物品+普通物品：

还是01背包，我们是怎么在泛化物品f[i]中加入一个体积为v，价值为w的普通物品的？

f[i]=max(f[i],f[i-v]+w);

O(n)解决。

分析题目:可以看作是叶子节点的v=1,非叶子节点的v=0,w=父亲到该点的费用*（-1）+该点的money。就是一个树形依赖模型，每个节点是一个物品。

设f[i][j]表示dfs序小于等于节点i的所有节点（物品）中，体积为j时的最大价值。

设s为i的一个孩子。

则f[i]管理的范围为红色圈，f[s]管理的范围为蓝色圈。

从上往下（父亲-->孩子）dfs时，先让f[s]=f[i]（s继承i的全部信息）

强制让f[s]必须选择s，然后往下对s进行dp。

让f[s]必须选普通物品s是因为选择了s才能选s的孩子：f[s]=f[i]; f[s][j]=max(f[s][j],f[s][j-v]+w);就是说,f[s]=f[i]+物品s

如果不是选择孩子之前必须选择父亲：f[s]=max(f[i],f[i]+物品s）

回溯（孩子-->父亲）时：将f[s]与f[i]合并。

泛化物品的并： 因为两个泛化物品之间存在交集，所以不能同时两者都取，那么我们就需要求 泛化物品的并，对同一体积，我们需要选取两者中价值较大的一者，效率 O(C)。

F[j] = max{ F1[j] , F2[j] } (C>=j>=0)

我的代码以及注释：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 const int N=,Inf=(int)1e9;
 struct node{
     int x,y,d,next;
 }a[*N];
 int len,n,m;
 int first[N],v[N],w[N],f[N][N],cost[N];

 int maxx(int x,int y){return x>y ? x:y;}

 void ins(int x,int y,int d)
 {
     len++;
     a[len].x=x;a[len].y=y;a[len].d=d;
     a[len].next=first[x];first[x]=len;
 }

 void init()
 {
     len=;
     memset(first,,sizeof(first));
     for(int i=;i<=n-m;i++)
     {
         int k,x,d;
         scanf("%d",&k);
         for(int j=;j<=k;j++)
         {
             scanf("%d%d",&x,&d);
             ins(i,x,d);ins(x,i,d);
         }
     }
     for(int i=n-m+;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
     for(int i=;i<=n-m;i++) v[i]=;
     for(int i=n-m+;i<=n;i++) v[i]=;
 }

 void dfs(int x,int fa)
 {
     for(int i=first[x];i;i=a[i].next)
     {
         int y=a[i].y;
         if(y!=fa)
         {
             if(y>=n-m+) cost[y]=-a[i].d+w[y];
             else cost[y]=-a[i].d;
             dfs(y,x);
         }
     }
 }

 void dp(int x,int fa)
 {
     for(int i=first[x];i;i=a[i].next)
     {
         int y=a[i].y,V=v[y],W=cost[y];
         if(y==fa) continue;

         for(int j=;j<=n;j++) f[y][j]=f[x][j];
         dp(y,x);

         // 泛化物品（f[x]）加普通物品（节点y:V=v[y],W=cost[y]）
         // 初始化f[y]：f[y][j]=max(f[y][j],f[y][j-V]+W);

         // 泛化物品（f[x]）与泛化物品（f[y]）合并（f[x]与f[y]存在交集）
         // f[x][j]=maxx(f[x][j],f[y][j+V]);
         for(int j=V;j<=n-V;j++)
             f[x][j]=maxx(f[x][j],f[y][j-V]+W);//加普通物品y应放在dp(y)后，因为f[y]是表示y可选可不选的，如果先压进去就必须选。
     }
 }

 int main()
 {
     freopen("a.in","r",stdin);
     // freopen("a.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m);
     init();
     dfs(,);
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=n;j++)
             if(j==) f[i][j]=;
             else f[i][j]=-Inf;
     dp(,);
     int ans=;
     for(int i=n;i>=;i--)
         if(f[][i]>=) {printf("%d\n",i);return ;}
     printf("0\n");
     return ;
 }