[题解] 51 nod 1340 地铁环线

不难看出这是一道差分约束的题目。

但是如果想按照通常的题目那样去建边的话，就会发现这句话——相邻两站的距离至少是1公里——建边后就直接让整个题出现了负环(默认是按求最短路建边)，没法做了。

这时我们就需要使用断环为链的技巧。

可以设\(len\)为地铁环线总长

那么就需要把\(a→b(a>b)\)的限制条件转换为\(b→a\)的限制条件，比如\(dis(a,b)\leq k\)转换为\(dis(b,a)\geq len-k\)。总算能连边建图惹

如果现在要判断是否有解，那方法肯定是\(spfa\)判负环。

但问题在于\(len\)是未知量，如果用\(len\)表示每一条边，那么\(e_i=len\pm d_i\ or\ \pm\ d_i\)。

因为有没有解的关键在于有没有负环，所以：

考虑图上每一个环, 其权值一定可以表示为 \(val=k×len+b\) 的形式. 那么现在分类讨论一下每一个环.

• \(k=0\) 且 \(b<0\) 时, \(val<0\)，为负环,一定无解；
• \(k<0\) 且 \(b<0\) 时, \(val<0\)，为负环,一定无解；
• \(k<0\) 且 \(b>0\) 时, 如果出现\(val<0\)，可以通过减小 \(len\) 来消除负环；
• \(k>0\) 时, 如果出现\(val<0\)，可以通过增大 \(len\) 来消除负环。

这样思考会发现\(len\)的合法大小一定是一段连续区间

所以可以确定一个\(INF\)，然后二分\(len\)，由上述规律找到\(len\)的合法区间的左右端点，如果右端点接近\(INF\)则判断为无数个解。

\(tips\)：

• 凡是没有说明联通的图都要小心；
• 可能只有一个点；
• 因为\(e_i=len\pm d_i\ or\ \pm\ d_i\)，而\(len\)是变量，所以建边的时候存\(len\)的系数和\(d_i\);
• 若一个点入队次数超过n,则有负权环,然后要判断\(k\)的值，来决定二分方向，要记录来时的边 废话，并且把环取出来 可能有小尾巴呀；

代码:

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string>
#include <utility>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <assert.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct edge{
	int nx,from,to,k,v;
};

#define N 55
#define M 55
#define INF 100000000000
#define mid ((l+r)>>1)

int T,n,m1,m2;
int cnt,head[N];
int st,pre[N],ar[N],inq[N],vis[N];
long long L,R,dis[N];
queue <int> Q;
edge e[M*2+N*2];

inline void clear(){
	cnt=L=R=0;
	memset(head,0,sizeof(head));
}

inline void add(int u,int v,int k,int w){
	e[++cnt]=edge{head[u],u,v,k,w};
	head[u]=cnt;
}

inline int spfa(long long len){
	while(!Q.empty()) Q.pop();
	memset(ar,0,sizeof(ar));
	memset(inq,0,sizeof(inq));
	memset(pre,0,sizeof(pre));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=INF;
	Q.push(st); inq[st]=1; dis[st]=0;
	while(!Q.empty()){
		int x=Q.front(); Q.pop(); inq[x]=0;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nx){
			int y=e[i].to;
			if(dis[y]>dis[x]+e[i].k*len+e[i].v){
				dis[y]=dis[x]+e[i].k*len+e[i].v;
				pre[y]=i;	ar[y]=ar[x]+1;
				if(ar[y]>n+1){
					int tail,k=0;
					for(int j=y;j;j=e[pre[j]].from)
						if(vis[j]){tail=j;break;}
						else vis[j]=1;
					k+=e[pre[tail]].k;
					for(int j=e[pre[tail]].from;j!=tail;j=e[pre[j]].from)
						k+=e[pre[j]].k;
					if(k==0) return 1;
					if(k>0)  return 2;
					if(k<0)  return 3;
				}
				if(!inq[y]) inq[y]=1,Q.push(y);
			}
		}
	}
	return 4;
}

int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		clear();
		scanf("%d%d%d",&n,&m1,&m2);
		add(1,n,1,-1);
		for(int i=2;i<=n;++i) add(i,i-1,0,-1);
		for(int i=1;i<=n;++i) add(st,i,0,0);
		int a,b,d;
		for(int i=1;i<=m1;++i){
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&d); ++a,++b;
			if(a<b) add(b,a,0,-d);
			else add(b,a,1,-d);
		}
		for(int i=1;i<=m2;++i){
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&d); ++a,++b;
			if(a<b) add(a,b,0,d);
			else add(a,b,-1,d);
		}
		int flag;
		bool OK=0;
		long long l=1,r=INF;
		while(l<=r){
			flag=spfa(mid);
			if(flag==1) break;
			else if(flag==2) l=mid+1;
			else if(flag==3) r=mid-1;
			else OK=1,L=mid,r=mid-1;
		}
		l=1,r=INF;
		while(l<=r){
			flag=spfa(mid);
			if(flag==1) break;
			else if(flag==2) l=mid+1;
			else if(flag==3) r=mid-1;
			else OK=1,R=mid,l=mid+1;
		}
		if(!OK) printf("0\n");
		else if(R>=INF) printf("-1\n");
		else printf("%lld\n",R-L+1);
	}
	return 0;
}

参考了Rothen的博客

我也不知道他 blog 为啥没了，也不敢问