波利亚(George Pólya)的一些链接

忽然决定还是要写个博客。

第一篇献给波利亚。

他最有名的应该是《怎样解题》(How to solve it)这本书了。我认为只要读了前面几页就能提高普通人解决问题的能力，真的应该列为中学必读课外书。

后来找到了一个他老人家50多年前的视频《波利亚教我们的一堂课》，几年前加上了中文字幕传到了B站上。除了几句话（贴在了下面），基本上视频里面的内容都能在《怎样解题》里找到。那几句话是：

• 什么是教学？在我看来，教学是给学生机会，让他们自己发现一些想法，而不是直接把知识告诉学生。
• 伟大的发现都是由猜测到证明的，课堂上的学生也是这样学习的。
• 数学看起来是由证明构成的，但是构造中的数学是由猜测构成的。

数学科普书他还写过不少别的，不过我都没有好好看过。汗。

然后说一个可能不太有名的。他和舍贵出过一本很难的习题集，名字叫做《数学分析中的问题和定理》。我只做过当中的第一题（其实也是《怎样解题》书后的最后的一题。）：

一美元能有多少种不同的兑换方法？就是说，你用一分，五分，十分，四分之一元，半元（价值分别为1，5，10，25与50分）的五种不同硬币付出100分，能有多少种不同付法？

熟悉动态规划的同学肯定知道这个怎么做。不过这是1920年代出版的书，大家可以想想没有计算机的时候这题是怎么做的。

我很喜欢这本书前言中的一段，贴在下面作为结束。（手打之前Google了一下，找到了这个和这个。于是直接贴过来，稍微改正了一些错别字。感谢原作者。）前言的英文也可以在网上找到。

传授有关知识对我们来说是次要的事情。我们首先要养成读者的正确态度，加强某些思
维训练，这些在数学中无疑比在其他科学领域中更为重要。我们不可能详细地制定最有

效的思维方法的一般规律。即使可能建立这些规律，它们也不会是很有用的。人们不在

于从理论上去熟记这些正确的规律，而应使其渗入自己的血肉以备随时和本能地加以应

用。因此对于培养一个人的思维能力来讲，只有思维训练才是真正重要的。独立解决一

些难度高的问题对读者的帮助远超过下文提到的一些行之有效的经验之谈，不过在开

始阶段照它做并不会带来什么坏处。

人们力图这样去理解一切：孤立的事实，将它与有关的事物作对照；新的发现，将它与
已熟知的知识相联系；不习惯的，与习惯的相类比；特殊的结论，加以推广；一般的结
果，给予适当的特殊化；复杂情况，分解为组成部分；细节，通过概括，获得全貌。

熟悉一个城市与熟悉一个知识领域有类似之处。一个人必须能从任何的给定地点到达任
何其他地点。如果他能很快选择一条最方便或最快的路径从一个地点到另一地点，那
么他可算是相当熟悉了。如果他是非常熟悉的话，他甚至还能搞出点新花样，例如进行
一次远足，自始至终避免走某些平时常走的路----这种事情会发生在一些公理的讨论中。

借零星的认识去构造完美的知识整体与用未经加工的乱石建筑一道墙也有类似之处。人
们必须把每个新的认识象对每块新的石头那样翻来覆去地从各方面观察它，把它试放到
所有可能的位置上去，直至新的东西在已建成的部分中找到它最合适的位置，使得接触
面尽可能大而裂缝尽可能小，从而形成整个坚固的结构。

直线是由两点确定的。类似地，许多新的结果是通过在两个极端情况之间的一类线性插
值的方法得到的。一条直线也可以由一个方向和一个点所确定。新的结果也常可以从一

个值得注意的特殊情况与某人工作方向的巧合中产生出来的。平行引伸也是得到新结果

的有效方法。

一个想法使用一次是一个技巧，经过多次使用就可成为一种方法。在数学归纳法中求证
的结论和为了证明它所能动用的手段是成比例的。它们的比为n+1:1。 因此加强求证的

结论也可能带来好处，因为与此同时我们也加强了证明过程中可以动用的手段。在其他

场合也会出现这种情况，即较一般的提法比其特殊的结果可能更容易证明；在这种情况

下最重要的成就应该是建立更一般的论述，提炼本质的东西，掌握完整的情况。

“Qui, nimium probat, nihil probat。”（拉丁文原意是“谁检验一切命题，谁就什

么也没有检验。”）不过人们应当带着怀疑的心情审查每个证明，看看是否所作的假设

在论证中都已用上了。人们应当试图从较少的假设中得到相同的结论，或者从相同的假

设得到较强的结论，仅当找到了反例表明已达到可能的极限时才应当满足。

然而人们决不能忘记有两类推广：一种是容易取得的，一种是有价值的。一种是用稀释
的办法来加以推广，另一种是用集中的方法来加以推广。稀释意味着在大量的水中把肉
煮成淡汤；集中意味着浓缩大量营养物质为精华。在通常的观点下似乎是互不相关的概

念得到统一便是集中。例如群论浓缩了过去散布于代数、数论、几何中似乎是非常不同

的概念。用稀释进行推广的例子是更容易找到了，不过举这种例子是很容易伤感情的。

最后，写完了发现不敢做这本习题集也不是一个正确的态度。