4.1.6 Grundy数-硬币游戏2

Problem Description：

　　Alice 和 Bob 在玩一个游戏。给定 k 个数字 a1,a2,……，ak。一开始，有n堆硬币，每堆各有 Xi 枚硬币。Alice 和 Bob 轮流选出一堆硬币，从中取出一些硬币。每次所选硬币的枚数一定要在 a1,a2,……，ak 当中。Alice先取，取光硬币的一方获胜。当双方都采取最优策略时，谁会获胜？题目保证a1,a2……中一定有1.

　　1<=n<=1000000

　　1<=k<=100

　　1<=Xi,ai<=10000

Input：

　　n=3

　　k=3

　　a={1,3,4}

　　x={5 ,6,7}

Output：

　　Alice

　　这和4.1.1中介绍的硬币问题类似，但那道题中只有一堆硬币，而本题中有n堆。如果依然用动态规划算法的话，状态数将高达O（X1*X2*……*Xn）。

　　为了更高效地求解这个问题，要了解一下Grundy值这一重要概念。利用它，不光是这个游戏，其他许多游戏都可以转换成前面所介绍的Nim。

　　让我们再来考虑一下只有一堆硬币的情况。硬币枚数所对应的Grundy值的计算方法如下。

int grundy(int x){
    S={};
    for(i=,……,k){
        if(a_i<=x)
        //将Grundy（x-a_i）加到S中
    }
    return //最小的不属于S的非负整数
}

　　也就是说，当前状态的Grundy值就是除任意一步所能转移到的状态的Grundy值以外的最小非负整数。这样的Grundy值，和Nim中的一个石子堆类似，有如下性质。

　　Nim中有x颗石子的石子堆，能够转移成0，1，……，x-1颗石子的石子堆；

　　从Grundy值为x的状态出发，可以转移到Grundy值为0,1，……，x-1的状态；

只不过，与Nim不同的是转移后的Grundy值也有可能增加。不过，对手总能选取合适的策略再转移回相同Grundy值的状态，所以对胜负没有影响。（但是，对于状态可能有循环时，需要注意不分胜负·达成平局（游戏不会结束）的情况。因为在这个游戏中，石子数始终是减少的，所以不会发生平局）

另外，上面的程序是用单纯的递归函数实现的，改成动态规划或记忆化搜索之后，就能够保证求解的复杂度为O（xk）。

　　了解了一堆硬币的Grundy值的计算方法之后，就可以将它看作Nim中的一个石子堆。Nim中为什么用如下方法判断胜负。

　　所有石子堆的石子数Xi的XOR

　　　　X1 XOR X2 XOR …… XOR Xk

　　　　为零则必败，否则必胜

　　Grundy值等价于Nim中的石子数，所以对于Grundy值的情况，有

　　　　所有硬币堆的Grundy值的XOR

　　　　　　grundy(X1) XOR grundy(X2) XOR ……XOR grundy(Xk)

　　　　　　为零则必败，否则必胜

　　不光是这个游戏，在许多游戏中，都可以根据“当前状态的Grundy值等于除任意一步所能转移到的状态的Grundy值以外的最小非负整数”这一性质，来计算Grundy值，再根据XOR来判断胜负。

//输入
int N,K,X[MAX_N],A[MAX_K];
//利用动态规划计算Grundy值的数组
int grundy[MAX_N+];
void solve(){
    //轮到自己时剩0枚则必败
    grundy[]=;
    //计算grundy值
    int max_x= *max_element(X,X+N);
    for(int j=;j<max_x;j++){
        set<int> s;
        for(int i=;i<K;i++)
            if(A[i]<=j)
                s.insert(grundy[j-A[i]]);
        int g=;
        while(s.count(g)!=) g++;
        grund[j]=g;
    }
    //判断胜负
    int x=;
    for(int i=;i<N;i++)
        x^=grundy[x[i]];
    if(x) puts("Alice");
    else puts("Bob");
} 

　　SG函数：

首先引入mex函数，mex(x)=未在集合S中出现，且不超过x的最小非负整数。

举个例子：

S={1,2,3}，mex(4)=0;

S={0,1,2,3},mex(4)=4;

S={0,1,3},mex(4)=2;

这个看起来和推理毫不相关……好啦，开始回忆下推理过程吧！

我们在推理博弈时，引入了“必胜局势”和“必败局势”，并且我们发现：“必胜局势”可以转化为“必胜局势”或“必败局势，而”必败局势“只能转化为”必胜局势“。这意味着，谁拿到了”必败局势“，只能把”必胜局势“留给对方，那就只能乖乖走进对方布下的圈套，不断陷入”必败局势“喽！

再引入SG定理和SG函数，SG(x)=mex(SG(所有通过x能达到的”局势“))，那么对于n堆石子的取石子游戏，若SG(1)^SG(2)^……^SG(n)==0，则先手必败，否则先手必胜。（^为异或，即在二进制中，异或双方相同位取0，不同位取1.）

那么在实际做题时，就可以直接预处理出所有SG值，求结果时直接异或即可。

以这题为例，若每次最少取1，最多取3，那么：

SG(0)=0;

SG(1)=1，因为1可以取到0，而SG(0)=0，所以把0去掉后，未出现过的最小非负整数为1；

SG(2)=2，同理，2可以取到1或0，排除掉SG(0)和SG(1)，未出现过的最小非负整数为2；

SG(3)=3；

SG(4)=0，因为4可以取到1,2,3，但不能取到0（最多取3个嘛！），所以虽然排除1,2,3，未排除0，最小非负整数为0；

SG(5)=1；

……以此类推；

因为只有一堆石子，不用异或，直接判断SG(x)是否等于0即可判断x是否为”必胜局势“
模板：

//f[]：可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f[N],sg[N],hash[N];
void getSG(int n)
{
    int i,j;
    memset(sg,,sizeof(sg));
    for(i=;i<=n;i++)
    {
        memset(hash,,sizeof(hash));
        for(j=;f[j]<=i;j++)
            hash[sg[i-f[j]]]=;
        for(j=;j<=n;j++)    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
        {
            if(hash[j]==)
            {
                sg[i]=j;
                break;
            }
        }
    }
}