文字描述

  树形选择排序又称锦标赛排序; 比如,在8个运动员中决出前3名至多需要11场比赛, 而不是7+6+5=18场比赛(它的前提是甲胜乙,乙胜丙,则甲必能胜丙)

  首先对n个记录的关键字进行两两比较,然后在(n/2)个较小者之间再进行两两比较,直至选出最小关键字的记录为止,这个过程可用一颗有n个叶子结点的完全二叉树表示。关于完全二叉树的定义和与本排序算法用到的性质见附录1

示意图

算法分析

  由于含n个叶子结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1, 则在树形选择排序中,除了最小关键字外,每选择一个次小关键字仅需进行log2n次比较,因此它的时间复杂度为nlogn.。但是它需要的辅助空间为2*n-1。而且它在选择过程中,和"最大值"进行了多余的比较。 另外,该算法是不稳定的。

代码实现

 #include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
/*
* double log2(double x); 以2为底的对数
* double ceil(double x); 取上整
* double floor(double x); 取下整
* double fabs(double x); 取绝对值
*/ #define DEBUG #define EQ(a, b) ((a) == (b))
#define LT(a, b) ((a) < (b))
#define LQ(a, b) ((a) <= (b)) #define MAXSIZE 100
#define INF 1000000
typedef int KeyType;
typedef char InfoType;
typedef struct{
KeyType key;
InfoType otherinfo;
}RedType; typedef struct{
RedType r[MAXSIZE+];
int length;
}SqList; void PrintList(SqList L){
int i = ;
printf("下标值:");
for(i=; i<=L.length; i++){
printf("[%d] ", i);
}
printf("\n关键字:");
for(i=; i<=L.length; i++){
if(EQ(L.r[i].key, INF)){
printf(" %-3c", '-');
}else{
printf(" %-3d", L.r[i].key);
}
}
printf("\n其他值:");
for(i=; i<=L.length; i++){
printf(" %-3c", L.r[i].otherinfo);
}
printf("\n\n");
return ;
} /*树形选择排序算法*/
void TreeSelectSort(SqList *L)
{
//为实现该排序所需的辅助树
SqList tree;
//辅助树的大小
tree.length = L->length- + L->length; tree.r[].otherinfo = '';
int i = , low = ;
//由后向前填充此树的叶子结点
for(i=; i<L->length; i++){
tree.r[tree.length-i] = L->r[L->length-i];
}
//由后向前填充此树的非叶子结点
for(i=(tree.length-L->length); i>=; i--){
tree.r[i] = (LT(tree.r[*i].key, tree.r[*i+].key)?tree.r[*i]:tree.r[*i+]);
}
//纪录当前辅助树的最小结点
RedType minred;
//记录最小结点在叶子结点中的下标值
int minindex = ;
while(low <= L->length){
minred = tree.r[];
#ifdef DEBUG
printf("第%d趟树形选择排序后,输出当前数最小值%d, %c\n", low, minred.key, minred.otherinfo);
PrintList(tree);
#endif
//不断移走最小结点
L->r[low++] = minred;
minindex = tree.length;
//找到最小值在辅助树叶子结点中的下标值
for(minindex=tree.length; (minindex>(tree.length-L->length)); minindex--){
if(EQ(tree.r[minindex].key, minred.key) && EQ(tree.r[minindex].otherinfo, minred.otherinfo)){
break;
}
}
//设置一个最大值标志,INF表示无穷大
tree.r[minindex].key = INF;
//重新调整此辅助树,使根结点关键字值最小
for(i=(minindex/); i>=; i/=){
tree.r[i] = (LT(tree.r[*i].key, tree.r[*i+].key)?tree.r[*i]:tree.r[*i+]);
}
}
#ifdef DEBUG
printf("按照树形选择排序后的原顺序表:\n");
PrintList(*L);
#endif
} int main(int argc, char *argv[])
{
if(argc < ){
return -;
}
SqList L;
int i = ;
for(i=; i<argc; i++){
if(i>MAXSIZE)
break;
L.r[i].key = atoi(argv[i]);
L.r[i].otherinfo = 'a'+i-;
}
L.length = (i-);
L.r[].key = ;
L.r[].otherinfo = '';
printf("输入数据:\n");
PrintList(L);
//对顺序表L作树形选择排序
TreeSelectSort(&L);
return ;
}

树形选择排序

运行


附录1 完全二叉树

定义:设二叉树深度为h,除第h层外,其他各层(1 ~ h-1)的结点数都达到最大个数,第h层所有的结点都集中在最左边,这就是完全二叉树。

性质:

1] 结点i (i>1)的双亲结点为i/2

2] 结点i的左孩子结点为2*i, 右孩子结点为2*i+1

3] 叶子结点数n0, 度为2(有左、右孩子结点)的结点数n2, 则n0 = n2+1

性质3]证明:

  设n1为二叉树中度为1的结点数。因为二叉树中所有结点数的度均不大于2。所以二叉树的结点数n = n0 + n1 +n2 -- (1)。

  又除根结点外,其余结点都有一个分支进入,设B为分支总数,则n=B+1。由于这些分支是由度为1或2的结点射出的,所以又有B=n1+2*n2,于是得n = B+1 = n1+2*n2+1 – (2)。

  由(1)和(2)知, n0 = n2 +1

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