BZOJ3130: [Sdoi2013]费用流(二分，最大流)

Description

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
    最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。

上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。    对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。

Input

第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
    接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。

Output

第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

Sample Input

3 2 1
1 2 10
2 3 15

Sample Output

10
10.0000

解题思路：

第一问不说了。

Alice、Bob都上了，那不是裸的博弈论吗？

第二问，根据博弈论贪心Bob会将全部的花费都花在最大边上，也就是最大流量上。

根据贪心性质，减小边容量并不会增大最大流（废话）

所以只需要二分最大花费的大小，然后全图限制流量不超过最大流量。

这时只需要再跑一遍Dinic检查最大流是否变化就好了。

代码：

 #include<queue>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 const double oo=(double)(0x3f3f3f3f);
 const double eps=1e-;
 struct pnt{
     int hd;
     int lyr;
     int now;
 }p[];
 struct ent{
     int twd;
     int lst;
     double vls;
     double his;
 }e[];
 int cnt;
 int n,m;
 int s,t;
 std::queue<int>Q;
 void ade(int f,int t,double v)
 {
     cnt++;
     e[cnt].twd=t;
     e[cnt].vls=v;
     e[cnt].his=v;
     e[cnt].lst=p[f].hd;
     p[f].hd=cnt;
     return ;
 }
 bool Bfs(void)
 {
     while(!Q.empty())Q.pop();
     for(int i=;i<=t;i++)
         p[i].lyr=;
     p[s].lyr=;
     Q.push(s);
     while(!Q.empty())
     {
         int x=Q.front();
         Q.pop();
         for(int i=p[x].hd;i;i=e[i].lst)
         {
             int to=e[i].twd;
             if(p[to].lyr==&&e[i].vls>eps)
             {
                 p[to].lyr=p[x].lyr+;
                 if(to==t)
                     return true;
                 Q.push(to);
             }
         }
     }
     return false;
 }
 double Dfs(int x,double fll)
 {
     if(x==t)
         return fll;
     for(int& i=p[x].now;i;i=e[i].lst)
     {
         int to=e[i].twd;
         if(p[to].lyr==p[x].lyr+&&e[i].vls>eps)
         {
             double ans=Dfs(to,std::min(fll,e[i].vls));
             if(ans>eps)
             {
                 e[i].vls-=ans;
                 e[((i-)^)+].vls+=ans;
                 return ans;
             }
         }
     }
     return 0.00;
 }
 double Dinic(void)
 {
     double ans=0.00;
     while(Bfs())
     {
         for(int i=;i<=t;i++)
             p[i].now=p[i].hd;
         double dlt;
         while((dlt=Dfs(s,oo))>eps)
             ans+=dlt;
     }
     return ans;
 }
 bool check(double maxflow,double x)
 {
     for(int i=;i<=cnt;i++)
         e[i].vls=std::min(e[i].his,x);
     double ans=Dinic();
     return maxflow-ans<=eps;
 }
 int main()
 {
 //    freopen("a.in","r",stdin);
     double pri;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     s=,t=n;
     scanf("%lf",&pri);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int a,b;
         double c;
         scanf("%d%d",&a,&b);
         scanf("%lf",&c);
         ade(a,b,c);
         ade(b,a,);
     }
     double maxflow=Dinic();
     printf("%.0lf\n",maxflow);
     double l=0.00,r=oo;
     while(r-l>eps)
     {
         double mid=(l+r)/2.00;
         if(check(maxflow,mid))
             r=mid;
         else
             l=mid;
     }
     printf("%.4lf\n",pri*l);
     return ;
 }