帝都Day5——依旧是数据结构

/*Day1、Day2我尽量整理吧*/

树状数组

树状数组滋瓷单点修改和前缀查询

加特技可以使得树状数组支持更多操作。

c[2n+1]=a[2n+1](奇数就是它本身)

c[2n]≠a[2n](偶数不是)

二进制表示1~8

dec bin
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
5 0110
7 0111
8 1000

一个数包含的位数和它二进制最后一个1的位置有关。

c[x]=a[x-lowbit(x)+1]+...+a[x]

-x=2^32-x

lowbit(x)=x&(-x);

莫名其妙地翻到了以前写的博客：

求和：x每次减去lowbit(x)

代码：

void add(int x,int y)//第x项+y
{
    for(;x<=n;x+=x&-x)
        c[x]+=y;
}
int ask(int x)//第x项的前缀和
    int y=0;
    for(;x;x-=x&-x)
        y+=c[x];
    return y;
}

复杂度均为：O(log₂n)

NOIP2013 火柴排队

匹配方法：按照排序位置匹配

让a中第k大和b中比k大匹配

同时移动a,b与只移动一个没有区别，可以确定一个移动一个。

首先：离散化：Ai表示ai是a数组第几大的，Bi表示bi是b数组中第几大的

离散化之后，火柴的高度已经没有意义了，只要能够表示出是第几大就行

定义数组C满足C[A[i]]=i，D满足D[i]=C[B[I]]，表示b数组的第i项最终需要移动到哪一位

然后求D数组中的逆序对数即可。前后枚举每一项，用树状数组维护D

int main()
{
    for(i=1;i<=n;i++)
        A[i]=a[i];
    sort(a+1,a+n+1);//给a数组从小到大排序
    for(i=1;i<=n;i++)
        A[i]=lower_bound(a+1,a+n+1,A[i])-a;
    //通过lower_bound搜到A[i]（原来的a[i]）在排序后的数组中的排名是第几小的
    for(i=1;i<=n;i++)
        B[i]=b[i];
    sort(b+1,b+n+1);
    for(i=1;i<=n;i++)
        B[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,B[i])-b;
    //B[i]同A[i]
    //A[i]表示a[i]是a数组中第几小的 ——hzh
    //C[i]表示a数组第i小的数的下标 ——hzh
    for(i=1;i<=n;i++)C[A[i]]=i;//C[i]表示a数组第i小的数的下标
    for(i=1;i<=n;i++)D[i]=C[B[i]];//B[i]是b[i]的排名
    //C[B[i]]是b[i]对应的排名相等a[i]下标；即D[i]是b[i]对应的a[i]的位置
    //C[B[i]]表示a数组中第B[i]小的数的下标 ——hzh
    //D[i]表示b数组中第i个数应该移动到哪个位置 ——hzh
}

然后用计数排序的思想求逆序对：

当D数组遍历到i的时候，我们要找的就是在D数组中i的右边且小于i的元素数量。此时所有在D数组i的右边元素的树状数组中已经标记了个"1"(默认0)，而所有小于i的元素在树状数组中都在i的左边。所以，我们只需要求树状数组中i的前缀和，就是D数组中i的右边且小于i的元素的数量。然后把这个结果更新到ans中(ans+=ask(i))。遍历完i后，在树状数组中的i标记一个1(add(i,1))，然后遍历i-1。

野鸡题（实为http://poj.org/problem?id=3468）
区间价一个数，区间求和

差分：
区间加一个数，单点求值的树状数组（差分）
差分：一项减去前一项
代码：配套前面的树状数组代码用

add(l,x);
add(r+1,-x);//区间[l,r]增加x权值
ask(x);//查询x点的权值

野鸡题：两个树状数组解决 贼难！！

0 0 0 0 0//初始值
[2,4]+3
 0  3  3  3  0 //修改后的值
 0  3  6  9  9 //修改后的前缀和
-3  0  0 12  0 //第一个树状数组
-3 -3 -3  9  9 //第一个树状数组前缀和
 3  0  0 -3  0 //第二个树状数组：对第一个树状数组的错误进行修正
 3  3  3  0  0 //第二个树状数组前缀和
 3  6  9  0  0 //第二个树状数组每一项前缀和乘以下标
 0  3  6  9  9 //乘以下标之后加上第一个树状数组的前缀和
 
add(l,r,x)
{
    add1(l-1,-x*(l-1));
    add1(r,x*r);
    add2(l-1,x);
    add2(r,-x);
}
ask(l,r)=ask1(r)+ask2(r)*r-(ask1(l-1)+ask2(l-1)*(l-1))

bzoj1878 SDOI2009 HH的项链

用离线的方法做，把所有询问按照一定的顺序做，按照r从小到大排序

1 2 5 2 3 3 5

以代码为生的我
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=g[a[i]];
        g[a[i]]=i;//处理f数组
        add(f[i]+1,1);
        add(i+1,-1);//区间[f[i]+1,i]增加1
        for(;q[j].r==i&&j<=n;j++)
            q[j].ans=ask(q[j].l);//处理询问
    }

O(nlog₂n)

二叉搜索树——BST(也叫作平衡树)

左儿子<根节点<右儿子，左子树和右子树也是二叉搜索树

treap.每个节点有一个随机的额外权值，这个随机权值满足堆的性质

treap的旋转 右旋、左旋

旋转不改变平衡的性质，堆的随机权值是为了保持平衡

代码

void rotate(int x)
{
    int y=dad[x],z=dad[y];
    bool f=s[1][y]==x;
    if(!is_root(y))s[s[1][z]==y][z]=x;
    s[f][y]=s[!f][x];s[!f][x]=y;
    dad[x]=z;dad[y]=x;dad[s[f][y]]=y;
    update(x);update(y);
}

Afternoon!

treap 有两个权值，一个平衡树的权值；一个堆的权值；性质（略）

在保证两个权值唯一相等，这个数是唯一确定的(!?!??!!??!?!)

旋转操作：P是Q左儿子->右旋->Q是P右儿子

Q是P右儿子->P是Q的左儿子

旋转之后，中序遍历是一样的，且满足平衡树的性质

如何满足堆的性质？

加入一个点 ——(x,?)

从root开始“二分查找”，钦点(x,?)的位置

为了满足堆的性质，判断是怎样交换节点，要左旋还是右旋

然后转来转去把它转成treap

treap代码

void left_rotate(int &q,int p)//
{
    rs[q]=ls[p];
    ls[p]=q;
    q=p;
}
void right_rotate(int &q,int p)//
{
    ls[q]=rs[p];
    rs[p]=q;
    q=p;
}
void add(int x,int &cur)
{
    if(!cur)
    {
        cur=++cnt;
        V[cnt]=x;
        R[cnt]=rand();
        return;
    }
    if(x>V[cur])
    {
        add(x,rs[cur]);
        if(R[rs[cur]]<R[cur])
            left_rotate(cur,rs[cur]);
    }
    else
    {
        add(x,ls[cur]);
        if(R[ls[cur]]<R[cur])
            right_rotate(cur,ls[cur]);
    }
}
void del(int x,int &cur)
{
    if(V[cur]==x)
    {
        if(!ls[cur]||!rs[cur])
        {
            cur=ls[cur]|rs[cur];
            return;
        }
        if(R[ls[cur]]>R[rs[cur]])
        {
            left_rotate(cur,rs[cur]);
            del(x,ls[cur]);
        }
        else
        {
            right_rotate(cur,ls[cur]):
            del(x,rs[cur]);
        }
    }
    else
        if(x<V[cur])del(x,ls[cur]);
    else
        del(x,rs[cur]);
}

Splay

Zig-Zig操作

Zig-Zag操作

添加节点：

和treap类似，在过程中不需要rotata，再查完之后需要将插入的元素进行一遍splay（整个做完add之后再splay，是并列的不是套着的）

删除元素：

如果这元素只有一儿子，让这儿子当做他

如果有两个儿子；从左子树找最大的或者右子树找最小的

代码：太难了

void splay(int x)
{
    st[t=1]=x;
    for(int y=x;!is_root(y);st[++t]=y=dad[y]);
    for(;t;t--)if(rev[st[t]])reverse(st[t]);
    for(;!is_root(x);rotate(x))if(!is_root(dad[x]))
        s[0][dad[x]]==x^s[0][dad[dad[x]]]==dad[x]?rotate(x):rotate(dad[x]);
    update(x);
}
int find_max(int cur)
{
    for(;s[1][cur];cur=s[1][cur]);
    return cur;
}
void combine(int &cur,int cur1)
{
    cur=find_max(cur);//找到一棵树最大的节点
    splay(cur);
    rs[cur]=cur1;
}

fhq-treap(不讲)

替罪羊树

朝鲜树：不旋转 add找到在哪里插，然后直接插进去

玄学的替罪羊树：最快的平衡树.........媲美RBT(msRBT更快？？？？)

Problem:bzoj3224/bzoj3223

STL

pair(对) pair<int,int>  make_pair(x,y) sort排序用

priority_queue(堆)

priority_queue<pair<int,int> >q;//两个>之间有个空格

map 映射(hash) 红黑树 定义：map<int,int>a; 赋值：a[x]=y; 取值：cout << a[x];

set 功能：insert upper_bound lower_bound size clear begin end 迭代器支持++ --

multiset 删除一个数会把所有这个数删掉

bitset<数>Bit; bit[数]=1; bit<<=100; (int)bit[xxx]; count() O(n) size没用 reset有用 flip 转位 bit=~Bit也可

线段树

直接放代码一波(+lazy tag的)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void pushdown(int cur,int x)
{
    cov[cur<<1]+=cov[cur];
    cov[cur<<1|1]+=cov[cur];
    sum[cur<<1]+=cov[cur]*(x+1>>1);
    sum[cur<<1|1]+=cov[cur]*(x>>1);
    cov[cur]=0;
}
void update(int cur)
{
    sum[cur]=sum[cur<<1]+sumpcur<<1|1];
}
void add(int l,int r,int L,int R,int x,int cur)
{
    if(L=<l&&R>=r)
    {
        cov[cur]+=x;
        sum[cur]+=(r-l+1)*x;
        return x;
    }
    if(cov[cur])
        pushdown(cur,r-l+1);
    int mid=l+r>>1;
    if(L<=mid)
        add(l,mid,L,R,x,cur<<1);
    if(R>mid)
        add(mid+1,r,L,R,x,cur<<1|1);
    update(cur);
}
int query(int l,int r,int L,int R,int cur)
{
    if(L<=l&&R>=r)
        return sum[cur];
    if(cov[cur])
        pushdown(cur,r-l+1);
    int mid=l+r>>1,ans=0;
    if(L<=mid)
        ans+=query(l,mid,L,R,cur<<1|1);
    return ans;
}

problems:

tyvj1473 校门外的树3

开两个线段树，一个存左边界另一个存右边界，m-2的时候求[1,l-1]之间的右边界数【求得是左边不再要查找区间内的线段数】ans1和[r+1,n]的左边界数【求的是右边不在要查找区间内的线段树】ans2，ans=tot_line-ans1-ans2

codevs1299：切水果

N个东西，每次标记[L,R]的东西，并求出没有被标记的数量

对于线段树上每个节点维护sum标记，表示这个节点对应区间中剩下水果数量。每次输出sum[1] 时间复杂度O(nlog₂n)

bzoj4373

区间组成等差数列条件：

max[l,r]-min[l,r]=(r-l)*k.

差分gcd=k

修改：把他与前后两个数差分改了就行

最大值和最小值不能用ST表，请用线段树，因为他要修改

时间复杂度=O(nlog₂²n)

trie树（踹树？？？）

字典树、单词查找树

三个基本性质

根节点不包含字符，除了根节点外每一个节点都只包含一个字符。

从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串

每个节点的所有子节点所有包含的字符不相同

踹树是“26叉树”，只是一些没有儿子的节点我们会忽略（就是不需要的字符忽略掉）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s[i]+1);
        m=strlen(s[i]+1);
        for(j=1,cur=root;j<=m;j++)
            if(son[cur][s[j]-'a'])
                cur=son[cur][s[j]-'a'];
            else
                cur=son[cur][s[j]-'a']=++cnt;
        tot[cur]++;
    }
}

于是他错误的点名开始了？？？？这什么破题目名字

luogu2580

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	root=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",s+1);
		m=strlen(s+1);
		for(j=1,cur=root;j<=m;j++)
			if(son[cur][s[j]-'a'])cur=son[cur][s[j]-'a'];
			else cur=son[cur][s[j]-'a']=++cnt;
		tot[cur]=1;
	}
	scanf("%d",&m);
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",s+1);
		m=strlen(s+1);
		for(j=1,cur=root;j<=m;j++)
			cur=son[cur][s[j]-'a'];
		if(tot[cur]==1)puts("OK"),tot[cur]=-1;
		else if(tot[cur]==-1)puts("REPEAT");
		else puts("WRONG");
	}
}

luogu2292 L语言

字典建踹树，然后一个一个字符匹配去吧。。。O(n*m)

Luogu2922 秘密消息

信息建踹树，一个节点的标记表示以这个节点为结尾的信息数量，然后每个密码从根节点遍历，遍历到头之后求经过路径的标记和，然后求以这个节点为子树的标记和

BZOJ3261 最大异或和

用前缀异或建踹树，

函数式线段树

president树

可持久化线段树（可反悔线段树）

主席树：

void add(int l,int r,int x,int y,int &cur,int cur1)
{
    cur=++cnt;
    sum[cur]=sum[cur1]+y;
    ls[cur]=ls[cur1];
    rs[cur]=rs[cur1];
    if(l==r)
        return;
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid)
        add(l,mid,x,y,ls[cur],ls[cur1]);
    else
        add(mid+1,r,x,y,rs[cur],rs[cur1]);
}
int ask(int l,int r,int k,int cur,int cur1)
{
    if(l==r)return l;
    int mid=l+r>>1;
    if(sum[ls[cur]]-sum[ls[cur1]]>=k)
        return ask(l,mid,k,ls[cur],ls[cur1]);
    else
        return ask(mid+1,r,k-sum[ls[cur]]+sum[ls[cur1]],rs[cur],rs[cur1]);
}
int main()
{
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(1,n,x,y,root[i],root[i-1]);
        ask(1,n,k,root[r],root[l-1]);
    }
}

空间：nlog₂n

来自：http://www.jianshu.com/p/e6050f01c4bc

字符串hash MD5

字符串转换成高进制大整数

hash：大数/巨数(或字符串)变比较小的

01串翻转问题(课件P450)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&x),a[i]=x;
	scanf("%d",&t);
	for(i=1;i<=t;i++){
		scanf("%d",&l[i]);
		for(j=0;j<l[i];j++)scanf("%d",&x),b[i][j]=x;
	}
	scanf("%d",&m);
	f[0][0]=1;
	for(i=1;i<n;i++)
		f[i]=f[i-1],f[i][i]=1;
	while(m--){
		scanf("%d%d%d",&s,&l,&r);
		if(s==1){
			a^=f[r-1];
			if(l-1)a^=f[l-2];
		}else
		{
			scanf("%d",&p);
			c=a;
			if(l-1)c>>=l-2;
			c&=f[l[i]-1];
			if((c^b[p]).count())puts("NO");
			else puts("YES");
		}
	}
}

　　完。