uoj#420. 【集训队作业2018】矩形（组合数学）

题面

传送门

题解

这辣鸡题目做了咱整整三天……咱果然还是太菜了……好珂怕的推倒啊……

首先把它变成

\[\left(
\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} F(i, j) \, h^{im + j}
\right) \bmod p\]

那么最后求答案的时候乘上的\({1\over h^{m+1}}\)就行了

我们考虑对\(v\)（即题目中的\(f_i\)）和\(c\)分别计算贡献

\(sub_1\)

对于\(v_x\)，打个表可以发现，第\(x\)行第\(1\)列它的系数为\(b\)，第\(2\)列系数为\(b^2\)，以及第\(x+i\)行第\(j\)列的系数为\({i+j-1\choose j-1}a^ib^jh^{(i+x)m}h^j\)

我们对它的系数求和，就是

\[\begin{aligned}
cnt
&=\sum_{i=0}^{n-x}a^ih^{(i+x)m}\sum_{j=1}^{m}{i+j-1\choose j-1}b^{j}h^{j}\\
&=bh^{xm+1}\sum_{i=0}^{n-x}a^ih^{im}\sum_{j=0}^{m-1}{i+j\choose j}b^{j}h^{j}\\
\end{aligned}
\]

记

\[\begin{aligned}
f_n=\sum_{i=0}^na^ih^{im}\sum_{j=0}^{m-1}{i+j\choose j}b^{j}h^{j}\\
g_n=\sum_{j=0}^{m-1}{n+j\choose j}b^{j}h^{j}\\
\end{aligned}
\]

于是我们显然可以写出\(f_n\)的递推式\(f_n=f_{n-1}+a^nh^{nm}g_n\)

那么我们只要能搞出\(g\)就可以求出\(f\)，进而求出每个\(v_x\)的系数了

那么继续推倒

\[\begin{aligned}
g_n
&=\sum_{j=0}^{m-1}{n+j\choose j}b^{j}h^{j}\\
&=\sum_{j=0}^{m-1}\left({n+j-1\choose j-1}+{n-1+j\choose j}\right)b^{j}h^{j}\\
&=bh\sum_{j=0}^{m-2}{n+j\choose j}b^{j}h^{j}+\sum_{j=0}^{m-1}{n-1+j\choose j}b^{j}h^{j}\\
&=bh\left(g_n-{n+m-1\choose m-1}b^{m-1}h^{m-1}\right)+g_{n-1}
\end{aligned}
\]

然后就分类讨论啊，如果\(bh\)等于\(1\)，就消掉\(g_n\)，可以直接得出\(g_{n-1}\)的式子。如果\(bh\)不等于\(1\)，就移项解方程。于是

\[g_n=\begin{cases}
{n+m\choose m-1}&bh=1\\
{g_{n-1}+{n+m-1\choose m-1}b^mh^m\over 1-bh}&bh\neq 1
\end{cases}
\]

初值分别为\(m(bh=1)\)和\({1-b^mh^m\over 1-bh}(bh\neq 1)\)

然后递推出\(g\)，进而求出\(f\)，对于每个\(v_x\)乘上\(bh^{xm+1}\)和\(f_{n-x}\)就行了

\(sub_2\)

然后我们考虑\(c\)的贡献

对于位置\((x,y)\)，\((i,j)(i\leq x,j\leq y)\)上的每一个\(c\)都会对这一个位置有贡献，我们可以看做向下走一步乘\(a\)，向右走一步乘\(b\)，\((x,y)\)上\(c\)的系数就是从所有\((i,j)\)走到它的所有路径的权值之和。那么这个位置上\(c\)的系数就是就是

\[F(x,y)=\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j{i+j\choose j}
\]

总的系数就是

\[\sum_{x=1}^nh^{xn}\sum_{y=1}^mh^y\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j{i+j\choose j}
\]

我们记\(G(x,y)=h^y\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j{i+j\choose j}\)

和上面一样化简。

\[\begin{aligned}
G(x,y)
&=h^y\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j\left({i+j-1\choose j-1}+{i-1+j\choose j}\right)\\
&=h^ya\sum_{i=0}^{x-2}\sum_{j=0}^{y-1}a^ib^j{i+j\choose j}+h^yb\sum_{i=0}^{x-1}\sum_{j=0}^{y-2}a^ib^j{i+j\choose j}+h^y
\end{aligned}
\]

注意，中间把组合数拆开来的时候，这个式子对\({0\choose 0}\)实际上是不适用的，所以我们少算了\({0\choose 0}\)的贡献，所以最后要加上\(h^y\)（咱因为没发现这个细节卡了好久）

继续推倒

\[G(x,y)=aG(x-1,y)+b\left(G(x,y)-h\sum_{i=0}^{x-1}a^ib^{y-1}h^{y-1}{i+y-1\choose y-1}\right)+h^y
\]

我们对这个东西求一个和，也就是记\(T(x)=\sum_{y=1}^m G(x,y)\)，有

\[T(x)=aT(x-1)+b\left(T(x)-h\sum_{i=0}^{x-1}a^i\sum_{j=0}^{m-1}b^jh^j{i+j\choose j}\right)+{h(1-h^m)\over 1-h}
\]

虽然最后的\(h^y\)的求和还要特判一下\(h=1\)的情况不过想必大家都是明白的我就不写了

中间那一大坨是什么东西啊……回过头去看看……

\(\sum_{j=0}^{m-1}b^jh^j{i+j\choose j}\)不等于\(g_i\)么……

\[T(x)=aT(x-1)+b\left(T(x)-h\sum_{i=0}^{x-1}a^ig_i\right)+{h(1-h^m)\over 1-h}
\]

还是分类讨论，如果\(b=1\)我们可以直接求出\(T(x-1)\)的通项公式，否则就可以解出\(T(x)\)的递推公式

然后枚举\(x\)，每一个\(x\)都要让系数加上\(h^{xm}T(x)\)，最后系数乘上\(c\)就行了

搞清楚字母哪个是哪个，别跟咱一样连自己写的啥都不知道了……

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=1e6+15;
int v[N],f[N],g[N],d[N],inv[N],t[N];
int n,m,h,P,a,b,c,res,x,y;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R ll y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int calc1(){
	int res=0,tmp;
	if(mul(b,h)==1){
		f[0]=g[0]=tmp=m;
		fp(i,1,n){
			tmp=1ll*(i+m)%P*tmp%P*inv[i+1]%P;
			g[i]=tmp;
		}
	}else{
		int p=mul(b,h),q=ksm(p,m);
		p=ksm(dec(1,p),P-2);
		tmp=1,f[0]=g[0]=mul(dec(1,q),p);
		fp(i,1,n){
			tmp=1ll*(i+m-1)%P*tmp%P*inv[i]%P;
			g[i]=dec(g[i-1],mul(tmp,q)),g[i]=mul(g[i],p);
		}
	}
	int p=1,k=mul(a,ksm(h,m));
	fp(i,1,n)p=mul(p,k),f[i]=add(f[i-1],mul(p,g[i]));
	int x=mul(b,h),y=ksm(h,m);
	fp(i,1,n)x=mul(x,y),res=add(res,1ll*x*f[n-i]%P*v[i]%P);
	return res;
}
int calc2(){
	int res=0,qwq=(h==1)?m%P:1ll*h*dec(1,ksm(h,m))%P*ksm(dec(1,h),P-2)%P;
	if(b==1){
		int tmp=g[0],k=1,inva=ksm(a,P-2);
		fp(i,1,n)k=mul(k,a),tmp=add(tmp,mul(k,g[i])),t[i]=mul(dec(1ll*tmp*h%P*b%P,qwq),inva);
	}else{
		int tmp=g[0],k=1,invb=ksm(dec(1,b),P-2);
		fp(i,1,n){
			t[i]=mul(a,t[i-1]);
			t[i]=dec(t[i],1ll*b*h%P*tmp%P);
			t[i]=add(t[i],qwq);
			t[i]=mul(t[i],invb);
			k=mul(k,a),tmp=add(tmp,mul(k,g[i]));
		}
	}
	int g=1,k=ksm(h,m);
	fp(i,1,n)g=mul(g,k),res=add(res,mul(g,t[i]));
	return mul(res,c);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	read(),n=read(),m=read(),h=read(),P=read(),a=read(),b=read(),c=read();
	if(!h)return printf("%d\n",add(c,mul(b,read()))),0;
	inv[0]=inv[1]=1;fp(i,2,n+5)inv[i]=mul(P-P/i,inv[P%i]);
	fp(i,1,n)v[i]=read();
	x=calc1(),y=calc2();
	res=ksm(h,m+1),res=ksm(res,P-2),res=mul(res,add(x,y));
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}