HDU 5915 The Fastest Runner Ms. Zhang (CCPC2016 长春 E题,分类讨论 + 求字典序最小的直径 + 数据结构寻找最小值)
题目链接 CCPC2016 Changchun Problem E
题意 给定一个$n$个点$n$条边的无向图,现在从某一点$s$出发,每个点都经过一遍,最后在$t$点停止,经过的边数为$l$
求字典序最小的三元组$(l, s, t)$
设环的长度为$c$,
当$s$和$t$在同一棵子树上的时候,$s$到$t$的路径上的边和环上的边只要走一次,其他边都要走两次,那么答案为$2n - c - len$
$len$为$s$到$t$的路径的长度;
当$s$和$t$不在同一棵子树上的时候,设$s$走到环上的第一个点为$u$,$t$走到环的第一个点为$v$。
那么这个时候考虑每条边走过的次数。
对于不在环上的边,从$s$到$u$,从$v$到$t$的路径只要走一次,其余的边都要走两次。
对于在环上的边,从$u$到$v$的路径只要走一次,其余的部分都要走两次,但是有一条边不用经过(一次都不用走)
那么答案为$2n - 2 - len(s, u) - len(u, v) - len(v, t)$;
对于第一种情况,我们对环上每棵树都求一条字典序最小的直径然后更新答案即可。
对于第二种情况,我们需要最大化$len(s, u) + len(u, v) + len(v, t)$的值。
考虑每个环上的点,显然$s$和$t$的最佳选择都是从这个点往里走可以走到的最深的点。
设环上的点依次排列为:$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ......, a_{cnt}$。
设每个环上的点往子树方向走能走到的最深的深度为$c_{1}, c_{2}, c_{3}, ......, c_{cnt}$
倍长a数组和c数组,对于每个位置$i(cnt < i <= 2 * cnt)$,找到一个最佳的点$j(i - cnt + 1 <= j <= i - 1)$。
使得$i - j + c[j] + c[i] = i + c[i] + (c[j] - j)$的值最大。
那么用单调队列维护$c[j] - j$的最大值即可。我为了方便偷懒用了ST表。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define rep(i, a, b) for (int i(a); i <= (b); ++i)
#define dec(i, a, b) for (int i(a); i >= (b); --i)
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair typedef long long LL;
typedef pair <int, int> PII; const int N = 1e5 + 10; struct node{
int x, y;
} b[N << 1]; node f[N << 1][20]; int T;
int n, cnt;
int a[N], isroot[N], father[N], vis[N];
int len, l, r;
int lg[N << 1];
int m;
int ca = 0;
vector <int> v[N];
pair <int, PII> ans;
PII c[N]; int get_circle(int x){
vis[x] = 1;
for (auto u : v[x]){
if (u == father[x]) continue;
father[u] = x;
if (vis[u]){
cnt = 0;
int w = x;
while (w ^ u){
a[++cnt] = w;
isroot[w] = cnt;
w = father[w];
} a[++cnt] = u;
isroot[u] = cnt;
return 1;
}
if (get_circle(u)) return 1;
} return 0;
} inline node mx(const node &a, const node &b){
if (a.x == b.x){
if (a.y < b.y) return a;
else return b;
} if (a.x > b.x) return a; else return b;
} void dfs(int x, int fa, int dep){
if ((dep > len) || (dep == len && x < l)){
len = dep;
l = x;
} for (auto u : v[x]){
if (u == fa || isroot[u]) continue;
dfs(u, x, dep + 1);
}
} void dfs2(int x, int fa, int dep, int extra){
if ((dep > len) || (dep == len && x < r)){
len = dep;
r = x;
} for (auto u : v[x]) if ((u != fa) && (!isroot[u] || u == extra)){
dfs2(u, x, dep + 1, extra);
}
} inline node solve(int l, int r){
int k = lg[r - l + 1];
return mx(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
} int main(){ lg[1] = 0;
rep(i, 2, 2e5) lg[i] = lg[i >> 1] + 1; scanf("%d", &T);
while (T--){
scanf("%d", &n);
if (n == 2) while (1);
rep(i, 0, n + 1){
v[i].clear();
isroot[i] = 0;
father[i] = 0;
vis[i] = 0;
} cnt = 0;
rep(i, 1, n){
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
v[x].push_back(y);
v[y].push_back(x);
} father[1] = 0;
get_circle(1); memset(c, -1, sizeof c);
ans = MP(1e9, MP(-1, -1));
rep(i, 1, cnt){
len = -1;
l = -1;
r = -1;
dfs(a[i], 0, 0); c[i] = MP(len, l);
len = -1;
dfs2(l, 0, 0, a[i]);
if (l > r) swap(l, r);
ans = min(ans, MP(2 * n - len - cnt, MP(l, r)));
} rep(i, 1, cnt){
b[i] = {c[i].fi - i + 1, c[i].se};
b[i + cnt] = {c[i].fi - (i - 1 + cnt), c[i].se};
} m = cnt << 1;
memset(f, 0, sizeof f); rep(i, 1, m) f[i][0] = b[i];
rep(j, 1, 18){
rep(i, 1, m){
if ((i + (1 << j) - 1) <= m) f[i][j] = mx(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
} rep(i, cnt + 1, m){
node now = solve(i - cnt + 1, i - 1);
int ll = now.y, rr = c[i - cnt].se;
if (ll > rr) swap(ll, rr);
int ret = c[i - cnt].fi + i - 1 + (now.x);
ans = min(ans, MP(2 * n - 2 - ret , MP(ll, rr) ) );
}
printf("Case #%d: %d %d %d\n", ++ca, ans.fi, ans.se.fi, ans.se.se);
} return 0; }
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