bzoj3663/4660CrazyRabbit && bzoj4206最大团

题意

给出平面上N个点的坐标,和一个半径为R的圆心在原点的圆.对于两个点,它们之间有连边,当且仅当它们的连线与圆不相交.求此图的最大团.

点数<=2000,坐标的绝对值和半径<=5000.

注意这里的连线指的是直线而不是线段.保证所有点都在圆外(不会落在圆的边界上).保证任意两个点的连线不会与圆相切.

分析

半年前写过题解.bzoj3663&&bzoj4660 Crazy Rabbit

因为最近联考考了这道题,然后发现我当时的题解写得一塌糊涂...于是重写一遍,顺便给当时看过我的题解的朋友道歉.

(捂脸熊.jpg)

首先对于圆外的点A,我们可以过它作两条圆的切线,找出两个切点之间的圆弧,这代表着从A放一个点光源时光线能照到的圆上的区间(也就是从点A能够"看到"的一段圆弧).我们可以用原点到切点的向量的极角来表示区间的端点.比如从点(0,sqrt(2))向半径为1的单位圆引切线,对应的区间就是[pi/4,3*pi/4].

关于"从某个点能够看到的一段圆弧",我们有一个至关重要的性质:

两个点所连的直线和圆没有交点,当且仅当这两个点分别"看到"的两端圆弧有公共部分但并不相互包含.

为了理解这个性质,可以自己在纸上画个圆,观察以下3条性质.

1. 如果两个点"看到"的圆弧没有公共部分,那么它们之间连一条线段会和圆相交.
2. 如果两个点"看到"的圆弧完全相互包含,那么它们之间连一条直线会和圆相交.
3. 如果两个点"看到"的圆弧不满足(1)(2),那么它们之间连一条直线不和圆相交.
   
   这里本来想画个圆,不过比较懒就没有画

求出"看见"的区间只需要用基本的计算几何和一些三角函数.这一部分细节见代码.

那么问题至此转化为:在圆上选出一些区间使得它们两两有公共部分且不能相互包含.

我们发现,两个区间是否"有公共部分且不相互包含"只与这区间的端点有关,与区间代表的是端点划分出的优弧还是劣弧无关.

上一句话可能比较难理解.我画画图.

为了看起来方便,我们把圆周画得比较有宽度,把一些区间画在圆周内侧和外侧,实际上这些区间都是放在没有宽度的圆周上.

上面的红色区间和绿色区间满足"相交且不包含",但是红色区间和紫色区间也满足,绿色区间和蓝色区间也满足,蓝色区间和紫色区间也满足.

也就是说:我们随便把一些区间变成每个区间在圆上对应的互补区间,"相交且不包含"的关系是不变的.

如果这个结论比较难理解,可以考虑我们是怎样判断两个区间是否"相交且不包含".因为任意两点连线和圆不相切所以不会出现区间端点相同的情况.那么第一个区间的两个端点中必然一个被第二个区间包含,一个不被第二个区间包含.显然,这里我们把哪一个区间变成其在圆上的互补区间都不会对答案有任何影响.

这个性质的用处在于把环上的问题变成链上的问题.我们随便找一个点,从那个地方把圆断开为链(方便起见不如取x轴负半轴和圆的交点).如果有的区间跨过来这个断点,只需把那个区间变成它在圆上的互补区间.

现在问题转化为直线上有一些区间,选出尽量多的区间使得它们两两之间"相交但不包含"

考虑选出来的任意两个区间[l1,r1],[l2,r2],假如l1<l2,那么由于"相交且不包含"的限制,必然有r1<r2.也就是说,把所有的区间按照左端点排序之后,选出来的区间一定是右端点递增的.因此我们naive地猜想,答案是不是对所有区间按照左端点排个序,再按照排序之后的顺序把右端点拿出来跑LIS呢?通过看数据范围我们发现不是这样.因为这样选出来的一些区间虽然满足不会相互包含,却不一定满足两两有公共部分.考虑最终方案中选出来的所有区间中左端点最小的一个,因为区间两两之间有公共部分所以这个区间内必须包含其他所有区间的左端点.那么我们枚举这个左端点最小的区间,只把其他区间中左端点在这个区间内的区间拿出来,按左端点排序后对右端点跑LIS,就可以保证选出来的区间有公共部分而且不包含.复杂度为O(n^2logn).

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1505;
const double pi=acos(-1);
const double eps=1e-10;
int cmp(double x){
  return x<-eps?-1:x>eps;
}
struct point{
  double x,y;
  point(){}
  point(double a,double b){
    x=a;y=b;
  }
  void read(){
    scanf("%lf%lf",&x,&y);
  }
}P[maxn];

int n,r;
double L[maxn],R[maxn],ori[maxn];
double dot(const point &A,const point &B){
  return A.x*B.x+A.y*B.y;
}
point operator -(const point &A,const point &B){
  return point(A.x-B.x,A.y-B.y);
}
double length(const point &A){
  return sqrt(dot(A,A));
}
double arg(double x,double y){
  return atan2(y,x);
}//the angle of vector(x,y),from(-pi,pi] ,arg(-1,0)=pi,arg(1,0)=0 arg(0,1)=pi/2
int tot,seq[maxn];
bool inside(double l,double r,double x){
  if(l<r){
    return cmp(l-x)*cmp(r-x)==-1;
  }else{
    return cmp(l-x)*cmp(r-x)==1;
  }
}
bool inter(int i,int j){
  return inside(L[i],R[i],L[j])^inside(L[i],R[i],R[j]);
}
bool cmp1(const int &a,const int &b){
  return cmp(L[a]-L[b])==-1;
}
double m[maxn];
double v[maxn];
int f[maxn];
int binary(double x){
  int l=0,r=tot;
  while(l<=r){
    int mid=(l+r)>>1;
    if(m[mid]<x)l=mid+1;
    else r=mid-1;
  }
  return l-1;
}
int lis(){
  for(int i=0;i<=tot;++i)m[i]=1e10;
  m[0]=-1e10;
  for(int i=1;i<=tot;++i)v[i]=R[seq[i]];
  int ans=0;
  for(int i=1;i<=tot;++i){
    f[i]=binary(v[i])+1;
    if(f[i]>ans)ans=f[i];
    if(v[i]<m[f[i]])m[f[i]]=v[i];
  }
  return ans;
}
int main(){
  int tests;scanf("%d",&tests);
  while(tests--){
    scanf("%d%d",&n,&r);
    for(int i=1;i<=n;++i)P[i].read();
    for(int i=1;i<=n;++i)ori[i]=arg(P[i].x,P[i].y);
    for(int i=1;i<=n;++i){
      double dlt=acos(r/length(P[i]));
      L[i]=ori[i]-dlt;R[i]=ori[i]+dlt;
      if(L[i]<-pi)L[i]+=2*pi;
      if(R[i]>pi)R[i]-=2*pi;
      if(L[i]>R[i])swap(L[i],R[i]);
    }
    //    for(int i=1;i<=n;++i)printf("%.3f %.3f\n",L[i],R[i]);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
      //enum start point
      tot=0;
      for(int j=1;j<=n;++j){
	    if(j==i)continue;
	    if(cmp(L[i]-L[j])==-1&&inter(i,j)){
	      seq[++tot]=j;
    	}
      }
      sort(seq+1,seq+tot+1,cmp1);
      int tmp=lis()+1;
      if(tmp>ans)ans=tmp;
    }
    printf("%d\n",ans);
  }
  return 0;
}