Bzoj4766: 文艺计算姬(Matrix-tree/prufer)
BZOJ
答案就是 \(n^{m-1}m^{n-1}\)
\(prufer\) 证明:
\(n\) 中的数字出现 \(m-1\) 次,\(m\) 中出现 \(n-1\) 次,根据 \(prufer\) 解码可知,\(n,m\) 中的数字和内部顺序确定了,那么它们的相对位置也可以确定
\(matrix-tree\) 证明:
构建基尔霍夫矩阵,去掉第一行第一列,发现分成四个部分
左上角 \((n-1)\times (n-1)\),主对角线为 \(m\),其余为 \(0\)
右下角 \(m\times m\),主对角线为 \(n\),其余为 \(0\)
左下右上都是 \(-1\)
手动求行列式
把第 \(n\) 行加上前 \(n-1\) 行,变成
\[m-1,m-1,...,m-1,1,1-n,1-n,...,1-n\]
再加上后 \(m-1\) 行,变成
\[0,0,...,0,1,1,1,...,1\]
依次加到前 \(n-1\) 行中,变成了下三角
对角线上有 \(1\) 个 \(1\),\(n-1\) 个 \(m\),\(m-1\) 个 \(n\)
代码不贴了,直接快速幂+龟速乘即可
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